【位運算經典應用】 N皇后問題

說到位運算的經典應用，不得不說N皇后問題。

學過程序設計的都知道N皇后問題，沒聽過也沒關系。很簡單，最傳統的的N皇后問題是這個樣子的，給你一個n * n大小的board，讓你放n個皇后（國際象棋），要滿足任意兩個皇后不能在一條水平線上，不能在一條垂直線上，也不能在一條45度的斜線上。聽起來似乎和數獨挺像，其實N皇后的條件更苛刻，除了水平垂直線外，數獨只有兩條對角線，而N皇后有很多條斜線，這點需要注意。

為了判斷程序的正確性，正好leetcode上有道題可以測試N-Queens II ，也是最經典的N皇后問題，給出n求得擺法的數量。

常規解法###

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一個很顯而易見的解法是遞歸求解，從上到下一行一行擺下去，並且記錄每行擺的位置，因為下一行擺放的位置要根據上面的擺放情況來確定。這里我們定義了一個pos數組，pos[1]的值表示擺在第一行的皇后所在的列，pos[2]的值表示擺在第二行的皇后所在的列，以此類推，所以擺到第n行時，上面擺放的皇后的位置就可以很容易地得到，從而可以進行判斷（該行什么位置可以擺放）。

當擺放到第r行時，我們遍歷該行所有的n個位置，判斷每個位置（r行c列）是否可以擺放，需要與前面擺放的每個皇后比較，是否在一條水平線上（這是不可能的），是否在一條垂直線上，是否在一條斜線上：

function check(r, c) {
  for (var i = 1; i < r; i++) {
    if (Math.abs(i - r) === Math.abs(pos[i] - c)) // 一條斜線上
      return true;

    if (c === pos[i]) // 一條豎直線上
      return true;
  }

  return false;
}

整個代碼也就顯而易見了：

var pos;

function check(r, c) {
  for (var i = 1; i < r; i++) {
    if (Math.abs(i - r) === Math.abs(pos[i] - c)) // 一條斜線上
      return true;

    if (c === pos[i]) // 一條豎直線上
      return true;
  }

  return false;
}

function dfs(r, n) {
  if (r === n + 1)
    return 1;

  var ans = 0;
  
  for (var i = 1; i <= n; i++) {
    if (check(r, i)) continue;
    pos[r] = i;
    ans += dfs(r + 1, n);
  }

  return ans;
}

var totalNQueens = function(n) {
  pos = [];
  return dfs(1, n);
};

位運算解法###

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在讀下文前，請先閱讀【位運算經典應用】標志位與掩碼會事半功倍。

位運算解法，遞歸是避免不了的，能優化的在於check()函數部分。

假設一個4 * 4的board，我們在第一行第三列上擺了個皇后，其實它已經把第一行之后的6個位置給ko掉了：

- - o -
- X X X
X - X -
- - X -

我們用flag=2(1<<2)記錄第一行擺下的這個位置，在第二行中，很顯然（1<<2)這個位置已經不能擺了，而(2<<1)這個位置也不能擺，(2>>1)這個位置也不能擺。如果要在第二行右起第1個擺下皇后，我們用flag2=1(1<<1)記錄這個決定，我們只需用flag2和以上算出來的不能擺的位置去做個與運算，看看有沒有沖突即可。結果(2>>1)&(1<<1)得到了非0的數，表示兩者沖突，所以該位置擺放失敗。

假設我們接着在第二行左起第一個擺放了皇后，對於第三行的擺放來說，第一行擺的皇后對它還是有影響的，比如它不能擺在第三行左起第一個位置，因為(2<<2)&(1<<4)！==0，沖突。而(2<<2)正是在第二排擺放決策中(2<<1)<<1。看到這里你也許應該有了思路，沒錯，我們可以維護三個數，l, r, c, 用來表示該行被右上角斜線，左上角斜線，正上方直線所影響而不能擺放的位置。三個數每次與欲擺放的位置作與運算，求解是否沖突，如沒有，l和r分別左移右移后繼續遞歸。

function dfs(l, r, c, index, n) {
  if (index === n) 
    return 1;

  var ans = 0;

  for (var i = 0; i < n; i++) {
    var tmp = 1 << i;
    if ((tmp & l) || (tmp & r) || (tmp & c)) continue;
    ans += dfs((tmp | l) << 1, (tmp | r) >> 1, tmp | c, index + 1, n);
  }

  return ans;
}

var totalNQueens = function(n) {
  return dfs(0, 0, 0, 0, n);
};