經典八皇后問題：Java語言

問題描述：將八個皇后放在棋盤上，任何兩個皇后都不能互相攻擊（即沒有任何兩個皇后在同一行、同一列或者同一對角線上）如圖所示，題目來自於《java語言程序設計：基礎篇》練習題6.20和6.22。

在本文中，對於兩道題采用了稍微不同的解決方式，但都使用的是一維數組。6.20中，要求求出一種有效布局，我建立了一個 有八個元素的一位數組，通過隨意打亂數組的值，通過值與下標的比較，直至得出一個有效布局；6.22中，要求求出所有有效布局，這里我使用了八進制數，遍歷了  從001234567-076543210的所有數字，通過將其轉化為八進制字符串，每位與其下標相比較，輸出滿足條件的布局。下面將對實現原理和方式進行詳細介紹。

Part 1 如何判斷是否是有效布局

　　我們將棋盤視為一個8*8矩陣，范圍均為0-7。觀察左邊的圖，可以發現，其布局可以用一組數對來表示(從上到下)，即(0, 0), (1, 6), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 1), (6, 4), (7， 2)。用一個數組來表示，即 int []list = {0, 6, 3, 5, 7, 1, 4, 2};

　　顯然，這是一個有效布局。下面我們就要考慮一個問題：在有效布局中，下標和其在數組中對應的值，即 i 與 list[i] 有什么關系嗎？

　　這里我們設   list[i] = k; list[j] = q;   (i > j)，它們滿足一下兩個條件（在紙上畫出來更容易明白）：

　　1、 k != q;

　　2、 i - j == k - q    或者  i - j == q -k  （由題意得）

　　為了保證，k != q, 這里聲明並初始化 數組list， 使得   list[i] = i。 然后隨機打亂數組，然后檢查  是否滿足條件2

// 創建並初始化數組    
int [] list = new int [arrSize];
for(int i = 0; i < arrSize; i++)
    list[i] = i;
// 隨機打亂數組
public static void randomizeArray(int [] list){
    int arrSize = list.length;
    int ranIndex;
    for(int i = 0; i < arrSize; i++){
        ranIndex = (int)(Math.random() * arrSize);
        if(ranIndex != i){
            int temp = list[i];
            list[i] = list[ranIndex];
            list[ranIndex] = temp;
        }
    }
}

6.20 的代碼主體 如下

    // 6.20 游戲：八皇后
    public void solveEightQueens(){
        int arrSize = 8;
        int [] list = new int [arrSize];
        for(int i = 0; i < arrSize; i++)
            list[i] = i;
        int count = 0;
        boolean notValid = true;
        while(notValid){
            count ++;
            notValid = false;
            randomizeArray(list);

            for(int i = 0; i < arrSize; i++){
                for(int j = i + 1; j < arrSize; j++){
                    if(j - i == Math.abs(list[j] - list[i])){  // 檢查是否滿足條件
                        notValid = true; 
                        break;
                    }
                }
                if(notValid) break;
            }   // end of outer for loop
        }   // end of while
        
        // print the result
        int i;
        System.out.println("O(∩_∩)O哈哈~, I have tried " + count + " times, and eventually succeed.");
        for(i = 0; i < arrSize - 1; i++){
            System.out.print("(" + i + ", " + list[i] + "), ");
        }
        System.out.println("(" + i + ", " + list[i] + ")");
    }

Part 2 求出所有的有效布局

　　由於6.22 要求求出所有有效的八皇后布局，隨機打亂數組的方法已經不再適用，只好尋求一個可以遍歷所有可能的方法。一個最直接的方法是，使用八層 for循環，不過代碼量太大，而且腦袋容易暈掉，所以不采用這個方法。

　　仔細觀察Part 1中數組的值，可以發現，它們都在0-7之間，因此使用八進制int數進行遍歷可以保證包含每一個排列。由於八位數字各不相同，因此可能的排列有 8! = 40320種，而八進制數總共有  8^8 = 16777216個，因此  可能的比例占  40320/16777216 = 1/416，得到的這40320個排列還要進行檢查才能篩選出最終有效的布局。這個方法效率還是有點低，不過暫且還沒有想出更高效的。

    // 6.22 游戲：多種八皇后問題的解決方案(利用int值遞增，然后將其轉變為八進制字符串，再進行檢查）
    public static void solveEightQueensMethod(){
        int start = 001234567;  // 八進制
        int end = 076543210;   // 八進制
        int count = 0;   // 計算有效的布局數
        for(int i = start; i < end; i++){
            boolean isValid = isValid(i);
            if(isValid){
                
                if(++count % 7 == 0)
                    System.out.println(Integer.toOctalString(i) + ": " + isValid);
                else System.out.print(Integer.toOctalString(i) + ": " + isValid + "  ");
            }
        }
        System.out.println("count = " + count);  // 輸出有效的布局數
    }
　　// 檢查 number 是否是有效布局
    public static boolean isValid(int number){
        String numOct = Integer.toOctalString(number);
        int arrSize = numOct.length();
        if(arrSize==7) { // 如果number第一位是0，則生成的字符串只有七個字符
            numOct = '0' + numOct;
            arrSize ++;
        }
        for(int i = 1; i < arrSize; i ++){
            for(int j = i - 1; j >= 0; j--){
                if(numOct.charAt(i) == numOct.charAt(j)) return false;   // 同一列
                if(i - j == Math.abs(numOct.charAt(i) - numOct.charAt(j))) return false;  //同一條對角線
            }
        }
        return true;
    }

Part 3  延伸：生成組合的問題

　　去年在一個筆試上，有這樣一道題。給定一個序列，輸出所有的組合。比如，

　　“123” 的輸出：  1， 2， 3， 12， 13， 21， 23， 31， 32， 123， 132， 213， 231， 312， 321

　　“abcd”的輸出： a, b, c, d, ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc, abc, acb, abd, adb, acd, adc, ..., abcd, ...

　　在6.22中，求出所有的八皇后布局，使用的方法是是通過 遞增 int 型數，再逐個進行檢查。上面的問題可以用類似的方法解決。不過效率有點低，如果有更高效的辦法，求高手指點