概念梳理：
歐拉函數是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。
歐拉函數的性質：它在整數n上的值等於對n進行素因子分解后，所有的素數冪上的歐拉函數之積。
歐拉函數的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數(小於等 於1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）
推論：當n為奇數時，有φ(2n)=φ(n)。
若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
設n為正整數，以 φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的歐拉函數值，這里函數φ：N→N，n→φ(n)稱為歐拉函數。
歐拉函數是積性函數——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n), 證明與上述類似。
算法實現與分析：
求解歐拉函數的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要對n進行素因子分解。
（1）直接實現
1 int oula(int n) 2 { 3 int rea=n; 4 for(int i=2; i<=n; i++) 5 if(n%i==0)//第一次找到的必為素因子 6 { 7 rea=rea-rea/i; 8 do 9 n/=i;//把該素因子全部約掉 10 while(n%i==0); 11 } 12 return rea; 13 }
這個函數的復雜度為O（n），如果n達到1000000000，肯定會超時，由於任何一個合數都至少有一個不大於根號n的素因子，所以只需遍歷到根號n即可，這樣復雜度降為O(√¯n）
下面是優化代碼：
1 int oula(int n) 2 { 3 int rea=n; 4 for(int i=2; i*i<=n; i++) 5 if(n%i==0)//第一次找到的必為素因子 6 { 7 rea=rea-rea/i; 8 do 9 n/=i;//把該素因子全部約掉 10 while(n%i==0); 11 } 12 if(n>1) 13 rea=rea-rea/n; 14 return rea; 15 }
（2）素數表實現
先把50 000以內的素數用篩選法選出來並保存，以方便歐拉函數使用，這樣，在不考慮篩選法的時間復雜度，而單純看歐拉函數，其復雜度為O（x），x為O(√¯n）以內素數的個數。
1 bool boo[50000]; 2 int p[20000]; 3 void prim() 4 { 5 memset(boo,0,sizeof(boo)); 6 boo[0]=boo[1]=1; 7 int k=0; 8 for(int i=2; i<50000; i++) 9 { 10 if(!boo[i]) 11 p[k++]=i; 12 for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++) 13 { 14 boo[i*p[j]=1; 15 if(!(i%p[j])) 16 break; 17 } 18 } 19 }//篩選法打表 20 int phi(int n) 21 { 22 int rea=n; 23 for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//對於一些不是素數的可不遍歷 24 if(n%p[i]==0) 25 { 26 rea=rea-rea/n; 27 do 28 n/=p[i]; 29 while(n%p[i]==0); 30 } 31 if(n>1) 32 rea=rea-rea/n; 33 return rea; 34 }
（3）遞推求歐拉函數
如果頻繁的使用歐拉函數值，就需要預先打表，下面介紹遞推求歐拉公式的方法。
可預先之所有數的歐拉函數值都為她本身，有定理可知，如果p是一個正整數且滿足φ（p）=p-1;那么p是素數，在遍歷過程中如果遇到歐拉函數與自身相等的情況。那么說明該數為素數，把這個數的歐拉函數值改變，同時也把能被素因子整除的數改變。
1 for(i=1; i<=maxn; i++) 2 p[i]=i; 3 for(i=2; i<=maxn; i+=2) 4 p[i]/=2; 5 for(i=3; i<=maxn; i+=2) 6 if(p[i]==i) 7 { 8 for(j=i; j<=maxn; j+=i) 9 p[j]=p[j]/i*(i-1); 10 }
噶嗚~附上歐拉函數表：
2-100歐拉函數表
n φ(n)
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
8 4
9 6
10 4
11 10
12 4
13 12
14 6
15 8
16 8
17 16
18 6
19 18
20 8
21 12
22 10
23 22
24 8
25 20
26 12
27 18
28 12
29 28
30 8
31 30
32 16
33 20
34 16
35 24
36 12
37 36
38 18
39 24
40 16
41 40
42 12
43 42
44 20
45 24
46 22
47 46
48 16
49 42
50 20
51 32
52 24
53 52
54 18
55 40
56 24
57 36
58 28
59 58
60 16
61 60
62 30
63 36
64 32
65 48
66 20
67 66
68 32
69 44
70 24
71 70
72 24
73 72
74 36
75 40
76 36
77 60
78 24
79 78
80 32
81 54
82 40
83 82
84 24
85 64
86 42
87 56
88 40
89 88
90 24
91 72
92 44
93 60
94 46
95 72
96 32
97 96
98 42
99 60
100 40