歐拉是數學家心目中的英雄，歐拉積分具有重要的應用。先給出歐拉積分的性質以便為進入分數階微積分打下基礎。
1.1 $\beta$函數定義$$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$$
易看出$0$和$1$為奇點，積分在$\alpha>0,\beta>0$時收斂.
a.對稱性
$$B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)$$
只需作積分變量代換$x=1-t$即可.
\begin{eqnarray*}
B(\alpha,\beta)&=&\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx\\&=&\int_{0}^{1}(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\\&=&B(\beta,\alpha)
\end{eqnarray*}
b.遞推公式
如果$\alpha>1$,那么成立等式
$$ B(\alpha,\beta)= \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-1}B(\alpha-1,\beta) $$
證明：利用分部積分法
\begin{eqnarray*}
B(\alpha,\beta)&=&-\frac{1}{\beta}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta}|_{0}^{1}+\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta}x^{\alpha-2}dx\\
&=&\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}(1-x)x^{\alpha-2}dx\\
&=&\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}x^{\alpha-2}dx-\frac{\alpha-1}{\beta}\int_{0}^{1}(1-x)^{\beta-1}x^{\alpha-1}dx\\
&=&\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha-1,\beta)-\frac{\alpha-1}{\beta}B(\alpha,\beta)
\end{eqnarray*}
從而有
$$ B(\alpha,\beta)= \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-1}B(\alpha-1,\beta) $$
一個特例$m,n\in N_{+}$
$$B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$
c.其他變化形式
令$x=\sin^{2}t$,則有
$$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2\alpha-1}t\cos^{2\beta-1}tdt$$
令$x=\frac{y}{1+y}$，則有
$$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha+\beta}}dy$$
特別地，
$$B(\alpha,1-\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\alpha-1}}{1+y}dy$$
1.2 $\Gamma$函數
定義
$$\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$$
a.可微性
$\Gamma$函數無限次可微且
$$\Gamma ^{(n)}(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}\ln^{n}xe^{-x}dx$$
b.遞推公式
$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$$
證明：利用分部積分法
\begin{eqnarray*}
\Gamma(s+1)&=&\int_{0}^{+\infty}x^{s}e^{-x}dx\\
&=&-x^{s}e^{-x}|_{0}^{+\infty}+s\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\\
&=&s\Gamma(s)
\end{eqnarray*}
一個特例
$$\Gamma(n)=(n-1)!$$
c.極限表達式（歐拉公式）
$$\Gamma(s)=\lim_{n\to \infty}n^{s} \frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}$$
證明：
\begin{eqnarray*}
\Gamma(s)&=&\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dt\\
&=&\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{n}(1-\frac{x}{n})^{n}x^{s-1}dt\\
&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\int_{0}^{1}(1-\tau)^{n}\tau ^{s-1}d\tau\\
&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}B(n+1,s)\\
&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(s)}{\Gamma(n+s+1)}\\
&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}
\end{eqnarray*}
d.余元公式
$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$$
證明：
利用上式所得到的極限表達式，則得
\begin{eqnarray*}
\Gamma(s)\Gamma(1-s)&=&\lim_{n\to \infty}n^{s}\frac{(n-1)!}{s(s+1)\cdots (s+n-1)}n^{1-s}\frac{(n-1)!}{(1-s)(2-s)\cdots (n-s)}\\
&=&\frac{1}{s} \lim_{n\to\infty}n\frac{1}{(1+s)(1+\frac{2}{s})\cdot (1+\frac{s}{n-1})} \frac{1}{(1-s)(1-\frac{s}{2}\cdot (1-\frac{s}{n-1})(n-s)}\\
&=&\frac{1}{s}\frac{1}{\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{s^2}{n^2})}\\
\end{eqnarray*}
利用由Euler發現的等式
$$\sin \pi x=\pi x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})$$
於是成立余元公式
$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)$$
特別地,令$s=\frac{1}{2}$
$$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$$
e.$\Gamma$函數與$\beta$函數的關系
$$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$
證明：
作變換$x=u^{2},y=v^{2}$則
\begin{eqnarray*}
\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=&\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\int_{0}^{+\infty}y^{\beta-1}e^{-y}dy\\
&=&4\int_{0}^{+\infty}u^{2\alpha-1}e^{-u^2}du\int_{0}^{+\infty}v^{2\beta-1}e^{-v^2}dv\\
&=&4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}u^{2\alpha-1}v^{2\beta-1}e^{u^2+v^2}dudv\\
&=&4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2\alpha-1}\theta\sin^{2\beta-1}\theta d\theta(Let\ \ u=r\cos\theta,v=r\sin\theta)\\
&=&B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta)
\end{eqnarray*}
f.$\Gamma$函數的推廣
$$\Gamma(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x}\cdot \frac{1}{n!}+\int_{1}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
這個等式對除去點$0,-1,-2,\cdots$以外的復數$z$定義$\Gamma(z)$.
g.所謂的倍角公式($Legendre$)
$$\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}2^{1-2s}\Gamma(2s)$$
此式可作進一步的推廣
$$\Gamma(s)\Gamma(s+\frac{1}{m})\Gamma(s+\frac{2}{m})\cdots \Gamma(s+\frac{m-1}{m})=(2\pi)^{(m-1)/2}m^{1/2-ms}\Gamma(ms)$$