走台階問題

問題

剛才在首頁看到一篇博客，說的是騰訊的一道面試題：一個樓梯有50個台階，每一步可以走一個台階，也可以走兩個台階，請問走完這個樓梯共有多少種方法？博主把這題分析的很麻煩。引來很多人圍觀。我以前也碰到過這個問題。寫出來和大家分享一下。

舉個例子，假設有3個台階，則有三種走法：分別是，1-1-1, 1-2, 2-1。

分析

很簡單的一道題，學過組合數學的人很快就能想到，這是一個遞推關系。假設走完k個台階有f(k)種走法。

• k = 1時，f(k) = 1
• k = 2時，f(k) = 2
• k = n時，第一步走一個台階，剩n-1個台階，有f(n - 1)種走法。第一步走兩個台階，剩n-2個台階，有f(n - 2)種走法。所以共有f(n - 1) + f(n - 2)種走法。

於是有如下公式

代碼

int count(unsigned int n)
{
    if(n ==1)
        return1 ;
    if(n ==2)
        return2 ;
    else 
        return count(n -1) + count(n -2) ;
}

具體是怎么走的呢？

上面只給出了有多少種走法，那么具體每一種走法是怎么走的呢？比如n=4時，五種走法分別如下：

1,1,1,1

1,1,2

1,2,1

2,1,1

2,2

我們用一個整型數組來存放每一步的內容，1表示這步走了一個台階，2表示這步走了兩個台階。回溯法搞定。代碼如下。

void count(int n, int t)
{
    if(n <0)
        return ;
    if (n ==0)
        Output(step, t) ;
    else
    {
        for (int i =1; i <=2; ++i)
        {
            step[t] = i ;
            count(n - i, t +1) ;
        }
    }
}

類似的問題

與此題類似的問題有很多，比如鋪地磚問題，自然數拆分等。

鋪地磚問題

有一個長度為n,寬度為2的地面，有若干塊長為2,寬為1的地磚，請問用此地磚鋪完這個地面共有多少種方法？

分析一下，假設鋪完長度為n的地面有f(n)種方法，如果第一塊地磚豎起來鋪，還剩下長度為n-1的地面，有f(n-1)種方法。如下圖。

如果第一塊地轉橫着鋪，那么還剩下長度為n-2的地面，有f(n-2)種鋪法。如下圖。

所以這道題與上面的題解法完全一樣。不同的題目，相同的模型而已。

自然數拆分

給定一個自然數n，將其拆分為若干個自然數字之和，請問有多少種方法？舉個例子，n=4時，可以拆分為1-1-1-1，1-1-2，1-3，2-2。

這題和上面的題很像，不過上面的問題是排列問題，而這題是組合問題，比如n=4時，1-1-2，1-2-1，2-1-1這三種只能算一個拆分。在上面的基礎上，去掉重復的組合即可。