N級台階走法(算法問題)

N級台階走法

題目： 總共100級台階（任意N級都行），小明每次可選擇走1步、2步，問走完這100級台階總共有多少種走法？

分析：對於台階走法

假設只有一個台階，那么只有一種跳法，那就是一次跳一級，f(1)=1；如果有兩個台階，那么有兩種跳法，第一種跳法是一次跳一級，第二種跳法是一次跳兩級， 如果有大於2級的n級台階，那么假如第一次跳一級台階，剩下還有n-1級台階，有f(n-1)種跳法，假如第一次條2級台階，剩下n-2級台階，有f(n-2)種跳法。

​ 只有1階時，有F(1) -> 1;

​ 2階時，有F(2) -> 2 種走法;

​ 3階時，有F(3) = F(1) + F(2) 種走法;

​ ```

​ N階時，有F(N) = F(N-1) + F(N-2) 種走法;

可知為斐波那契數列。對於代碼實現，可以通過遞歸思想來實現；

//走台階的基礎走法oneStep_lv0()方法
private static long oneStep_lv0(long stpes){
        if(stpes < 1){
            return 0;
        }
        if(stpes == 1){
            return 1;
        }
        if(stpes == 2){
            return 2;
        }
        return oneStep_lv0(stpes-1)+oneStep_lv0(stpes-2);
}
//調用 oneStep_lv0()方法
 private static void doAnswer(int stpes){
		System.out.print(oneStep_lv0(stpes));
 }

分析：此算法簡單粗暴，通過遞歸調用解決走台階問題，但分析我們會發現 當F(100)時會計算F(99) 和F(98),而計算F(99)時 又需要計算F(98)、F(97) ，F(98) 就會重復計算,實際執行代碼時我們會發現，計算的耗時會非常之久，為了避免這個問題，我們可以用空間換時間：

既然計算F(100) 必須要 計算 F(98)+F(99),那么意味着，我其實計算F(N)時，需要將之前的 N-1種情況都計算了，那么我們可以由低階往高階計算，並將每次結果存儲起來，優化代碼如下：

 private static void doAnswer(int stpes){
     //定義數組，存放每次走台階對應的步數
        long[] answerArr = new long[stpes+1];
        for (int i = 1; i <= stpes ; i++) {
            //從第1階開始，循環調用
            answerArr[i] = oneStep_lv1(i,answerArr);
        }
        System.out.print(answerArr[stpes]);
    }

//走台階的基礎走法oneStep_lv1()方法
private static long oneStep_lv1(int stpes,long[] answerArr){
        if(answerArr[stpes] != 0){
            //台階之前走過，則直接返回上次計算結果
            return answerArr[stpes];
        }
        if(stpes == 1){
            return 1;
        }
        if(stpes == 2){
            return 2;
        }
        return oneStep(stpes-1,answerArr) + oneStep(stpes-2,answerArr);
    }

改進后計算時間將大大減少。

注意由於100階的結果是 573147844013817084101 會溢出 long 的最大長度，所以需要將結果換為BigDecimal,在此省略改造代碼。

衍生：

第二種解法其實用到了動態規范的相關思想：

動態規划原理

• 基本思想：問題的最優解如果可以由子問題的最優解推導得到，則可以先求解子問題的最優解，在構造原問題的最優解；若子問題有較多的重復出現，則可以自底向上從最終子問題向原問題逐步求解。
• 使用條件：可分為多個相關子問題，子問題的解被重復使用
  • Optimal substructure（優化子結構）：
    • 一個問題的優化解包含了子問題的優化解
    • 縮小子問題集合，只需那些優化問題中包含的子問題，降低實現復雜性
    • 我們可以自下而上的
  • Subteties（重疊子問題）：在問題的求解過程中，很多子問題的解將被多次使用。
• 動態規划算法的設計步驟：
  • 分析優化解的結構
  • 遞歸地定義最優解的代價
  • 自底向上地計算優化解的代價保存之，並獲取構造最優解的信息
  • 根據構造最優解的信息構造優化解
• 動態規划特點：
  • 把原始問題划分成一系列子問題；
  • 求解每個子問題僅一次，並將其結果保存在一個表中，以后用到時直接存取，不重復計算，節省計算時間
  • 自底向上地計算。
  • 整體問題最優解取決於子問題的最優解（狀態轉移方程）（將子問題稱為狀態，最終狀態的求解歸結為其他狀態的求解）

通俗點，動態規划是把一個大問題拆解成一堆小問題，這個本身沒啥問題，但是這個不是動態規划的核心思想，或者說，一個”大問題“之所以能用”動態規划“解決，並不是因為它能拆解成一堆小問題，因為任何大問題都能拆解成小問題.

取決於該問題是否能用動態規划解決的是這些”小問題“會不會被被重復調用。