微積分與無窮級數 最近在備考大學生數學競賽，知乎已經開了一個專欄（見：https://www.zhihu.com/column/c_1425576103074897920 ），博客園這邊也開一個簡化版的吧（x），知乎專欄里大概是一日一更的一些題，因為知乎公式編輯器太拉了，所以可能公式不會太多 ...

　　實際應用中，總是會出現一堆復雜的函數，這類函數往往令物理學家和數學家都十分頭疼。為了解決這一窘境，泰勒想：會不會存在一種方法，把一切函數表達式都轉化為多項式函數來近似呢？這樣，處理問題不就變得簡單了嗎？經過泰勒夜以繼日的奮斗，終於研究出了泰勒級數的理論。它將一切函數，不論表達式有多么多么的復雜 ...

　　定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這里應注意定積分與不定積分之間的關系：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關系都沒有！一個函數，可以存在不定積分 ...

　　不是所有被積函數都能解析地寫出原函數。對於那些可能寫出來的函數，也需要一定的積分技巧才能隨心所欲，分部積分正是其中很重要的一種技巧。 基本公式 　　部分積分演變自積分的乘法法則： 示例1 　　看起來很難對付，現在嘗試用部分積分解決。 　　令u = lnx，u’ = (lnx ...

微積分第一基本定理 　　如果F’(x) = f(x)，那么： 　　如果將F用不定積分表示，F =∫f(x)dx，微積分第一基本定理可以看作為是兩個不定積分賦予特定的值，再用符號連接起來，計算具體的數值。 　　這里引入一個新符號： 　　於是： 示例1 　 示例 ...

微積分第二基本定理 　　這里需要注意t與x的關系，它的意思是一個函數能夠找到相應的積分方式去表達。如果F’=f，則： 　　下面是第二基本定理的證明。 　　證明需要采用畫圖法，如上圖所示，曲線是y=f(x)，兩個陰影部分的面積分別是G(x)和ΔG(x)，其中： 　　當Δx足夠 ...

　　我們已經學習了有限區間上的積分，但對於無窮的情況和區間上有奇點的情況仍無法理解。這就需要無窮積分和瑕積分來處理了，它們看起來十分有趣。 增長和衰減速率 　　通過上一章的內容，我們已經可以做出一些總結，在洛必達法則中，如果f(x) << g(x)且f,g > 0，那么當x ...

　　在流體運動中，通量是單位時間內流經某單位面積的某屬性量，是表示某屬性量輸送強度的物理量。在大氣科學中，包含動量通量、熱通量、物質通量和水通量。 　　本章關於向量和點積的相關知識課參考《線性代數筆記3——向量2（點積）》。 通量 　　通量實際上是一種線積分。如果有一條平面曲線C和這個平面 ...