最長合法括號子序列

一個合法的括號序列滿足以下條件：

1. 序列()被認為是合法的。
2. 如果序列X與Y是合法的，則XY也被認為是合法的。
3. 如果序列X是合法的，則(X)也是合法的。

例如， () ， ()() ， (()) 這些都是合法的。

現在，給定一個由  (  和  )  組成的字符串。

請你求出其中的最長合法括號子序列的長度。

注意，子序列不一定連續。

輸入格式

共一行，一個由  (  和  )  組成的字符串。

輸出格式

一個整數，表示最長合法括號子序列的長度。

數據范圍

前五個測試點滿足，$1 \leq \text{輸入字符串的長度} \leq 10$。

所有測試點滿足，$1 \leq \text{輸入字符串的長度} \leq {10}^{6}$。

輸入樣例1：

(()))(

輸出樣例1：

4

輸入樣例2：

()()(()(((

輸出樣例2：

6

 

解題思路

　　這是一個括號序列的問題。對於一個合法的括號序列，有兩個結論：

1. 整個序列的左右括號數量相等。
2. 任意一個前綴中，左括號的數量大於等於右括號的數量。

　　對於這兩個條件，一般用一個計數器來實現。一開始$cnt = 0$，遇到左括號就$cnt++$，遇到右括號就$cnt--$。等價於在上面的第$1$個條件中，最后的$cnt = 0$；第$2$個條件中，整一個操作的過程$cnt$都始終滿足$cnt \geq 0$。

　　一個合法括號序列最長，等價於右括號數量最多（因為左右括號數量相同），因此我們只需要找到一個合法括號序列，使得右括號的數量最多就可以了。

　　貪心的思想是，對於右括號，能選則選。如果在遍歷的過程中遇到右括號，且$cnt > 0$，就選這個右括號。下面證明一下這種做法是正確的。

　　首先有貪心解$\leq$最優解，因為貪心解是合法解，最優解是合法解中最大的那一個，因此貪心解$\leq$最優解。

　　下面證明貪心解$\geq$最優解。反證法，假設有最優解$>$貪心解。

　　因此可以證明得到貪心解$\leq$最優解，貪心解$\geq$最優解，即可以證明貪心解$=$最優解。

　　AC代碼如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

char str[N];

int main() {
    scanf("%s", str);
    
    int l = 0, r = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i++) {
        if (str[i] == '(') l++;
        else if (l > 0) l--, r++;
    }
    
    printf("%d", r << 1);
    
    return 0;
}

 

參考資料

　　AcWing 4207. 最長合法括號子序列（AcWing杯 - 周賽）：https://www.acwing.com/video/3660/