淺談最長不下降子序列與最長上升子序列

　　唔，最長不下降子序列與最長上升子序列曾是困擾蒟蒻多時的一個問題，應該也有一些人分不清這2個的求法吧。

　　首先n^2算法肯定是都能分清的，因為不下降和上升的區別是連續的2個能不能相等，只需要在判斷的時候判一下是不是相等就可以了。

　　最長不下降子序列代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[1100];
int f[1100];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;++j)
            if(a[i]>=a[j]&&f[j]+1>f[i])f[i]=f[j]+1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

　　最長上升子序列代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[1100];
int f[1100];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=1;j<i;++j)
            if(a[i]>a[j]&&f[j]+1>f[i])f[i]=f[j]+1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

　　233333，如果不仔細看你會以為這2份代碼是一樣的，仔細看你會發現相似度99%。

　　但是窩分不清 的當然不是n^2的求法，而是nlogn的求法，之所以分不清，還是因為窩太弱了，窩用的二分從來都是stl，所以會經常搞混該用lower_bound還是upper_bound qwq

　　先來說一下nlogn的求解思想，令f[i]代表長度為i的所有最長不下降子序列的最后一位的最小值是多少。為什么要記錄最小是多少那？因為我們想要這個序列最長，那么只有末尾最小才能有更多的數接到它的后面構成一個更長的序列。這時我們就能得到一個性質：f數組是遞增的。證明：f[i]代表的是長度為i的最長不下降子序列的結尾最小的數，如果它后面來了一個比它大的數，那么這個數一定能構成至少長度為i+1的最長不下降子序列，所以在f數組里一定不會比它的位置靠前。

　　所以開一個變量len來記當前找到的最長不下降子序列有多長了，如果a[i]>=f[len]，那么直接放到f[len]后面,並且len++,但是如果a[i]<len,就要a[i]放到f數組里，這是我們用到二分，在f數組里找出大於a[i]的第一個數並且用i把它替換掉。原理：假設f[x]是大於a[i]的第一個數，那么x之前的所有數都不必a[i]大，那么把a[i]一定可以構成一個長度為x的最長不下降子序列，並且由於a[i]比f[x]更小，所以a[i]一定不會比f[x]不優。

　　有一個值得說明的點是f數組只是用來記錄結尾的數的，f數組連起來並不是一個最長不下降子序列

　　最長上升子序列也是一樣的道理，只不過由於要求嚴格遞增，所以要替換的是大於等於它的第一個數

　　唔，二分用的2個stl分別是lower_bound和upper_bound，第一個是求大於等於一個數的第一個數的位置，第二個是求大於一個數的第一個數的位置。

　　最長上升子序列nlogn算法：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<Cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[100005],f[100005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    f[1]=a[1];int len=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(a[i]>f[len])f[++len]=a[i];
        else {
            int tmp=lower_bound(f+1,f+len+1,a[i])-f;
            f[tmp]=a[i];
        }
    }
    cout<<len;
    return 0;
}

　　最長不下降子序列nlogn算法：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<Cstdio>
using namespace std;
int n;
int a[100005],f[100005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    f[1]=a[1];int len=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(a[i]>=f[len])f[++len]=a[i];
        else {
            int tmp=upper_bound(f+1,f+len+1,a[i])-f;
            f[tmp]=a[i];
        }
    }
    cout<<len;
    return 0;
}

　　其實相似度也是99%，233333333