最长合法括号子序列

一个合法的括号序列满足以下条件：

1. 序列()被认为是合法的。
2. 如果序列X与Y是合法的，则XY也被认为是合法的。
3. 如果序列X是合法的，则(X)也是合法的。

例如， () ， ()() ， (()) 这些都是合法的。

现在，给定一个由  (  和  )  组成的字符串。

请你求出其中的最长合法括号子序列的长度。

注意，子序列不一定连续。

输入格式

共一行，一个由  (  和  )  组成的字符串。

输出格式

一个整数，表示最长合法括号子序列的长度。

数据范围

前五个测试点满足，$1 \leq \text{输入字符串的长度} \leq 10$。

所有测试点满足，$1 \leq \text{输入字符串的长度} \leq {10}^{6}$。

输入样例1：

(()))(

输出样例1：

4

输入样例2：

()()(()(((

输出样例2：

6

 

解题思路

　　这是一个括号序列的问题。对于一个合法的括号序列，有两个结论：

1. 整个序列的左右括号数量相等。
2. 任意一个前缀中，左括号的数量大于等于右括号的数量。

　　对于这两个条件，一般用一个计数器来实现。一开始$cnt = 0$，遇到左括号就$cnt++$，遇到右括号就$cnt--$。等价于在上面的第$1$个条件中，最后的$cnt = 0$；第$2$个条件中，整一个操作的过程$cnt$都始终满足$cnt \geq 0$。

　　一个合法括号序列最长，等价于右括号数量最多（因为左右括号数量相同），因此我们只需要找到一个合法括号序列，使得右括号的数量最多就可以了。

　　贪心的思想是，对于右括号，能选则选。如果在遍历的过程中遇到右括号，且$cnt > 0$，就选这个右括号。下面证明一下这种做法是正确的。

　　首先有贪心解$\leq$最优解，因为贪心解是合法解，最优解是合法解中最大的那一个，因此贪心解$\leq$最优解。

　　下面证明贪心解$\geq$最优解。反证法，假设有最优解$>$贪心解。

　　因此可以证明得到贪心解$\leq$最优解，贪心解$\geq$最优解，即可以证明贪心解$=$最优解。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

char str[N];

int main() {
    scanf("%s", str);
    
    int l = 0, r = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i++) {
        if (str[i] == '(') l++;
        else if (l > 0) l--, r++;
    }
    
    printf("%d", r << 1);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4207. 最长合法括号子序列（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3660/