突然想到可以從集合的角度來推導組合數的遞推公式，特意記下來。
$$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$$
可以把$C_{n}^{m}$理解為從$n$個元素中選取$m$個元素所組成的集合的數量，也就是說這些集合中的元素個數恰好都為$m$個，並且這$m$個元素都是從$n$個元素中選出來的，而這樣的集合的個數就為$C_{n}^{m}$個。
顯然，對於包含$m$個元素的這些集合中，對於某個元素$x$，這些集合中要么包含$x$，要么不包含$x$。因此我們可以把這些集合划分成兩類，一類是包含$x$的集合，另一類是不包含$x$的集合，這樣一定可以把這$C_{n}^{m}$個集合不重不漏地划分為兩類。我們分別算一下在這兩類中，每一類中含有的集合個數是多少，最后把這兩類的分別含有的集合個數加起來，就可以得到$C_{n}^{m}$這個值。
下面我們來分別計算這兩類中各自含有的集合的個數。
$1.$ 首先是包含元素$x$的一類：
每個集合中包含的元素個數都為$m$，且必定包含元素$x$。由於是組合，不考慮順序，我們統一把$x$放在最后一個位置。
我們來把被划分到這類的集合表現出來，其中$o$代表任意一個元素，並且不存在為$x$的元素。
現在要求的是有多少個這樣的集合。由於每一個集合的最后一個元素為$x$，我們可以把每個集合中的$x$去除，這種做法並不影響這些集合的個數。
現在問題就等價於，只考慮由前$m-1$個元素構成的集合的個數有多少個。
由於這些集合中的前$m-1$個元素都不為$x$，我們可以把$x$從$n$個元素中去除，變成了$n-1$個元素。
要知道組成這$m-1$個元素的集合的個數有多少個，就等價於從$n-1$個元素里面選出$m-1$個元素的方案數，也就是$C_{n-1}^{m-1}$。
所以這一類所包含的集合的個數為$C_{n-1}^{m-1}$。
$2.$ 然后是不包含元素$x$的一類：
每個集合中包含的元素個數都為$m$，且必定不包含元素$x$。其中$o$代表任意一個元素，並且不存在為$x$的元素。
現在要求的是有多少個這樣的集合。由於每一個集合都不包含元素$x$，因此我們可以先把$x$從$n$個元素中去除，變成$n-1$個元素，現在這$n-1$個元素中是沒有$x$的了。
等價於要知道從這$n-1$個元素里面選$m$個元素的方案數，也就是$C_{n-1}^{m}$。
所以這一類所包含的集合的個數為$C_{n-1}^{m}$。
最后就是把這兩類的各自含有集合的個數加起來，就得到從個$n$元素中選取$m$個元素的集合的數量，即$$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$$