定義
我們定義 \(C_n^m\) 為在 \(n\) 個元素中選擇 \(m\) 個元素的不同的組合方式，即組合數。
性質
1.計算公式：
\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]
我們記 \(A_n^m\) 為在 \(n\) 個元素中選 \(m\) 個元素的不同的排列方式，即排列數。
我們易得：
\[A_n^m=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]
規定 \(0!=1\)
可能有人不理解這倆柿子是怎么轉化的，其實很簡單，從 \(1\) 一直乘到 \(n-m+1\) 不久相當於從 \(1\) 乘到 \(n\) 再除以 \(1\) 乘到 \(n-m\) 嗎？
則有：
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]
2.互補性
\[C_n^m=C_n^{n-m} \]
口胡：對於每選出 \(m\) 種元素的一種組合，都有剩余沒選的 \(n-m\) 個元素組成另一種組合。
3.組合數恆等式
\[C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1} \]
通俗一點翻譯過來為：在原先的 \(n\) 個元素中多加入一個元素，根據分類加法計數原理，在原先的\(C_n^m\)下，顯然少了含有新元素的情況。若要放進一個新元素，要拿出一個老元素供這個新元素放置， 即加上 \(C_n^{m-1}\) 種方案。
求解
對於數據范圍較小且在 \(long long\) 范圍內，直接套公式求即可，但如果需重復計算，這將會浪費大量時間，可以先求出階乘表，直接調用即可。
當然這里不是要說這個，這里要介紹的是遞推求法。
基於組合數恆等式，令 \(n=n+1\)，那么式子就轉化為了
\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1} \]
結合數學上的規定：\(C_i^0=C_1^1=1\) 和 \(C_0^0=0\) 得出遞推開始條件。
\[dp[0][0]=0 \]
\[dp[i][0]=dp[1][1]=1，i \in [1,m] \]
遞推式：
\[dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1] \]
Code
void init() {
f[1][0]=f[1][1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++) {
f[i][0]=1;
for(int j=1; j<=i; j++) {
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
}
}
}
類似於楊輝三角的遞推式，想了解的自行查閱？