排列組合公式推導

全排列：
共n個球，取n個球，有多少種排列？

要從n個球中取n個球，可以想象有n個位置，一個位置放一個球。
第一個位置，有n種選擇，然后第2個位置，剩n-1種選擇，第3個位置，剩n-2種選擇，…依次類推，第n個位置，只剩1種選擇。

所以，n個位置共有
n *（n-1）*（n-2）*…* 1 = n!
種排列。
(ps:這里其實用到了分步計數乘法原理)

所以全排列公式：
$$A_n^n=n!$$

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非全排列：
共n個球，取m個球，有多少種排列？

要從n個球中取m個球，可以想象有m個位置，一個位置放一個球。
第一個位置，有n種選擇，然后第2個位置，剩n-1種選擇，第3個位置，剩n-2種選擇，…依次類推，第m個位置，只剩n-m+1種選擇。

所以，m個位置共有
n *（n-1）*（n-2）*…* (n-m+1)
= [ n *（n-1）*（n-2）*…* 1 ] / [ (n-m) * (n-m-1) * … * 1]
= n! / (n-m)!
種排列。
(ps:這里也用到了分步計數乘法原理)

所以非全排列公式：
$$A_n^m=n!/(n-m)！$$

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組合：

共n個球，取m個球，有多少種組合？

n個球中取m個球的排列，可以看作：先從n個球中取m個球進行組合，然后再對每個組合進行全排列。
即：
$$A_n^m=C_n^m\ast A_m^m$$
(ps:這里其實也用到了分步計數乘法原理)

所以組合公式：
$$C_n^m=A_n^m/A_m^m=A_n^m/m!=[n!/(n-m)!]/m!=n!/[m!\ast (n-m)!]$$