n次單位根（n-th unit root）

最近在看CKKS方案，里面的編碼/解碼用到了n次單位根，感覺基於環上的加密，很多都會用到，現在系統的學習一下！
內容來自：n次單位根

定義

先看定義：

\[z^n=1，(n=1,2,3,...) \]

該方程的根z為n次單位根，就是說這些根是復數！
簡單說：n次方根，就是多項式\(x^n-1\)或方程\(x^n-1=0\)在復數域內的n個不同的根，簡稱單位根
具體來講，單位根有n次根的有n個：$$z_i=e^{2\pi ki/n },(k=0,1,2,..,n-1)$$
復數域內：$$x_k=cos(2k\pi/n)+sin(2k\pi/n)I,(k=0,1,2,..,n-1),i是虛數單位$$

舉個例子：

其中提到了“本原根”，后面再去單獨介紹！

性質

1、對於方程\(x^n-1=0\)，不同的我單位根只有n個
例如：取k=0,1,2,..,n-1，就得到n個不同的n次單位根
取\(k=q*n+m,(q\in \mathbb{Z}^+,m=(0,1,...,n-1))\)時，\(x_k=x_{q*n+m}=x_m\)

2、n次單位根的模為1，即\(|x_k|=1\)

3、兩個n次單位根（\(x_i,x_j\)）的乘積，仍是一個n次單位根\(w_i*w_j=W_{i+j}\)，則：
（1）\((x_i)^{-1}=x_{-I}\)

（2）\((x_m)^{k}=x_{m*k}\)，（m，k是任意整數，當k=0時，\((x_m)^{0}=1=x_{0}\)）

（3）\(x_{m}=x_l\)：需要gcd(m,l)=1

（4）任何一個單位根都可以寫為\(x_1\)的冪，如\(x_m=(x_1)^m\)，這種根叫做n次本原單位根（n-th primitive unit root），簡稱n次原根或原根。當p和n互素且\(1 \leqslant p < n\)時，\(x_1^p\)都是n次本原單位根

（5）一個n次單位根的共軛復數也是一個n次單位根，記 \(\overline{x}=x_{n-m}\)

（6）對於任意的l和r，都有\((x_i)^r=(x_r)^l\)

（7）若a是整數，則

\[1+x_1^a+x_2^a+...+x_{n-1}^a=\left\{\begin{matrix} \\n,gcd(a,n)=1 \\ \\ \\0,gcd(a,n)\neq 1 \end{matrix}\right.\]

（8）全部單位根把復數平面的單位圓周(|z|=1)n等分了，構成了外接圓半徑為1的正n邊形的頂點，其中一個頂點為 \(x_0(1,0)\)