作者：五雷
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- 首先要理解什么是平穩的時間序列，一般時間序列書中給出的平穩的定義以弱平穩為主也就是一個隨機變量
的無條件期望不變、方差恆定且協方差不隨時間改變，也就是![E[y_{t}]=a,Var[y_{t}]=\sigma^{2},Cov(y_{t},y_{t-i})=\sigma_{i}](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD1FJTVCeV8lN0J0JTdEJTVEJTNEYSUyQ1ZhciU1QnlfJTdCdCU3RCU1RCUzRCU1Q3NpZ21hJTVFJTdCMiU3RCUyQ0NvdiUyOHlfJTdCdCU3RCUyQ3lfJTdCdC1pJTdEJTI5JTNEJTVDc2lnbWFfJTdCaSU3RA==.png)
，注意關鍵在於方差是有限的，並且協方差是不隨時間改變的。為什么這么設定？主要是給定這些假設前提后，就可以便於技術上的處理，例如平穩變量的譜分析； - 然后，需要知道一般什么樣的時間序列是平穩的，例如最常用的ARMA過程
，關鍵在於理解這個方程實際上是一個隨機差分方程，差分項就是變量自身，隨機項就是
，將上面這個方程稍微變換，可以看到可以寫成
，這也就是隨機微分方程的一個解，方程
稱為逆特征方程，解也就是逆特征解，跟差分方程的齊次解成倒數關系。現在可以知道，差分方程要平穩，那么其解應該在單位圓內，或者對應的逆特征方程的特征根在單位圓外。如果有根在單位圓上，那么對應着就是有單位根了； - 最后，看什么樣的序列存在單位根，最簡單的情況
，可以看到對應的特征根是1，這樣得出的解為
，可以看到這種情況下，離當前時間
很久遠的時刻的一個隨機沖擊對現在的影響仍然沒有衰減，這樣就是單位根過程了。如果時間序列存在這種情況，對時間序列的未來值的預測就難以進行。再從平穩的定義看，此時隨機變量的方差就會逐漸增大到
，而不會是有限的方差，這樣長期的時間序列就沒有預測意義了。