為什么要平穩？
原因一：時間序列數據的數據結構與傳統的統計數據結構不同。最大的區別在於，傳統隨機變量可以得到多個觀測值（比如骰子點數，可以反復擲得到多個觀測值，忽略時間的差異）。而時間序列數據中，每個隨機變量只有一個觀測值（比如設收盤價為研究的隨機變量，每天只有一個收盤價，不同日子的價格服從的分布不同，即考慮時間的差異）。這樣一來，每個分布只能得到一個觀測值，數目太少，無法研究分布的性質。但是通過平穩性，從不同日期的分布之間發現內在關聯，緩解了由於樣本容量少導致的估計精度低的問題。
原因二：研究時間序列的最終目的是，預測未來。但是未來是不可知的，我們擁有的數據都是歷史，因此只能用歷史數據來預測未來。但是，如果過去的數據與未來的數據沒有某種“相似度”，那這種預測就毫無道理了。平穩性就是保證這種過去與未來的相似性，如果數據是平穩的，那么可以認為過去的數據表現出的某些性質，未來也會表現。
什么是嚴平穩？
對於一個時間序列{Xt}，其中每個數據X都是隨機變量，都有其的分布（如圖）。
取其中連續的m個數據，X1到Xm，則可以構成一個m維的隨機向量，(X1,X2,...,Xm)
由於單獨的每個隨機變量X都有各自的分布，那么組合成一個m維隨機向量后，這個多維向量整體就有一個“聯合分布”。
嚴平穩的本質就是，這種聯合分布不隨着時間的推移而變化。
也就是說，取數據時，任意連續取出的m個數據（無論是從X1取到Xm，還是從Xt取到Xt+m），他們組成的多維向量的聯合分布都是相同的。
此時，再放寬一個條件，讓這個m的取值也任意。
即無論這取數據的窗口設定為多寬，只要連續取相同數目個數據，他們構成的聯合分布都是相同的。
比如，(X1,X2,X3)與（X6,X7,X8）有相同的3維聯合分布，(X1,X2,X3,X4)與（X6,X7,X8,X9）有相同的4維聯合分布。
綜上，符合上述性質的時間序列，是嚴平穩的。
有了嚴平穩為什么還要有寬平穩？
很多情況下，我們無從得知這些隨機變量的分布到底是什么樣子。
我們觀測得到的數據，只是服從某種未知分布的隨機變量的一種取值。
既然連單個隨機變量的分布都難以求出，就更不用說求由一堆隨機變量組成、多維隨機向量的聯合分布有多困難了。
因此嚴平穩雖然是一種保證過去與未來的數據“相似”很棒的方式，但過於理想化，實際上很難檢驗一個時間序列的嚴平穩性。
於是只能放寬條件，因而產生了“寬平穩”的概念。
什么是“k階矩”？
“矩”是隨機分布的一種特征數。特征數，顧名思義，反映了一個隨機分布的某種特征。比如“數學期望”反映了，符合某種分布的隨機變量的取值，總是在某個值周圍波動；而“方差”則反映了，這種波動的大小程度。
矩分為原點矩和中心矩，其中一階原點矩就是數學期望，二階中心矩就是方差。
通常2階以內（含2階）稱為低階矩，2階以上稱為高階矩。
但是這兩者之間有相互推導的公式，知其一就可推其二，因此一般只稱“矩”。
其中，隨機變量的k階原點矩的定義為，隨機變量的k次方的數學期望，即E(Xk)。平時所說的“k階矩存在”，就表現為這個數學期望不是無窮（也就是小於無窮），這與“極限存在”的定義是同理的。
值得注意的是，如果一個隨機變量的某高階矩存在，那么低階矩也一定存在。因為|X|k-1≤|X|k+1。
嚴平穩中由於聯合分布相同，故各階矩也相同。
什么是寬平穩？
寬平穩性是使用序列的特征統計量來定義的，它認為序列的統計性質，主要由其低階矩決定。
當時間序列滿足以下三個條件時：
第一個條件，任意時刻二階矩都存在。
第二個條件，隨機變量的期望（一階矩）不隨時間的推移而改變。說白了就是，均值μ不隨時間t改變。
第三個條件，兩個時點的隨機變量之間的自相關系數，只與這兩個時點的時間差有關，而不隨時間的推移而改變。說白了就是，只要窗口寬度（即兩時點的時間差）固定，則自相關系數是唯一。
就被稱為是寬平穩的。
由於定義涉及到的幾個條件，寬平穩也被稱為協方差平穩，或二階平穩。
從自相關系數與時間t無關能得到什么結論？
由於自相關系數只跟窗口寬度l（lag的首字母，表示用於計算自相關性而取的、兩個數據之間的時間差）有關，與時間t無關，因此大可以設一個函數ACF（Autocorrelation Function）表示這個窗口寬度與自相關系數之間的函數關系。其自變量為滯后期數（即窗口寬度，用l表示），因變量為自相關系數（用ρ表示）。
根據協方差的定義，ρl中，分子為Cov(Xt,Xt-l)，分母為sqrt{Var(Xt)Var(Xt-l)}。由於【【【【記得寫完】】】】
平穩性的一些結論
如果一個時間序列平穩，則有：
均值是與t無關的常數。即不同時點的分布中，隨機變量都是圍繞同一個值波動的。表現在時序圖（橫軸為時間軸，縱軸衡量隨機變量取值）中，即圖線整體是圍繞某個水平線波動的（類似於政經里價格圍繞價值上下波動那個圖）。
方差是與t無關的常數。這在定義里並沒有顯然地體現，但是由於定義給出自相關系數只與窗口寬度有關，而與窗口位置即時間t無關，所以大可以干脆取個寬度為0的窗口，於是本來相隔一個窗口寬度的兩個時點數據之間的相關性，就變成了同一個時點數據自己和自己之間的相關性，自己和自己，當然相關系數為1。
協方差是常數。
嚴平穩與寬平穩之間的關系？
嚴平穩本質上是對時間序列的分布進行限制，而寬平穩的本質是對低階矩進行限制。
由於寬平穩比嚴平穩的條件更為寬松，因此通常情況下，嚴平穩能推導出寬平穩，但寬平穩不能反推嚴平穩。但有特例。
因為寬平穩時，需要滿足二階矩存在的條件。而嚴平穩不需要滿足二階矩存在。
因此，不存在二階矩的嚴平穩序列，無法滿足寬平穩。例如嚴平穩的柯西分布序列，就不符合寬平穩（一二階矩不存在，因此無法驗證寬平穩）。
所以，只有二階矩存在時，嚴平穩序列才滿足寬平穩。
特例：當序列服從多元正態分布時，寬平穩序列一定能推導出嚴平穩。
原因在於，正態時間序列的二階矩平穩，等價於分布平穩（其密度函數表明，n維正態分布僅由其均值向量和自協方差矩陣決定）。
正態時間序列
如果一個時間序列，從中取出任意n個（有限個）隨機變量，組成的n維隨機向量，都服從n維正態分布，則稱之為正態時間序列。即上方的特例。