顯然階躍函數不滿足絕對可積，無法直接對其進行傅里葉反變換求出其時域對應的函數。但是可以利用傅里葉變換的性質對其進行求解。
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對稱性
若\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\)，那么\(\mathscr{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega)\)。 -
尺度變換
若\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]\)，那么\(\mathscr{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\)。
上述性質的證明參見：傅里葉變換的基本性質
尺度變換的性質中，如果令\(a=-1\)，我們可以得到一個重要結論：
\[\mathscr{F}[f(-t)]=F(-\omega) \tag{1} \]
即：信號在時域中反褶等效於頻域中也反褶
又由常見傅里葉變換對知道：
\[\mathscr{F}[u(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}=U(\omega) \tag{2} \]
那么結合“傅里葉變換的對稱性”可以得到：
\[\mathscr{F}[U(t)]=2\pi u(-\omega) \tag{3} \]
又因為信號在時域中反褶等效於頻域中也反褶，可以得到：
\[\mathscr{F}[U(-t)]=2\pi u(\omega) \]
所以可以得到\(u(\omega)\)的傅里葉反變換為：
\[\begin{aligned} \mathscr{F}^{-1}[u(\omega)]&=\frac{1}{2\pi}U(-t)\\ &= \frac{1}{2\pi}[\pi\delta(-t)+\frac{1}{j(-t)}] \\ &= \frac{1}{2}\delta(t) + j\frac{1}{2\pi t} \end{aligned} \tag{4}\]
至此，可以得到“\(\frac{1}{2}\delta(t) + j\frac{1}{2\pi t}\)的傅里葉變換是階躍函數”