沖激函數與傅里葉變換

 

傅里葉變換是信號分析的基本工具，利用幾條已知的變換結果和一系列性質，其值並不難求；但要是追問公式里的復指數和積分是怎么來的，想給出一個直觀的解釋恐怕就沒那么簡單了。我一直在尋找理解變換公式的簡單方法，然而結果要么是教科書里冗長的推導，要么就是完全圖形化，不涉及公式本身的解釋。直到最近電分課和我在看的一本無線通信的書都講到了沖激函數(δ函數)，我才感到對公式的理解稍微更進了一步，所以趕緊把一些零散的想法記錄梳理一下。

1. 對二元函數的理解

一般理解二元函數的含義時，采取的解釋是函數值同時受兩個自變量變化的影響。但是也可以以另一種觀點來看：二元函數表示的是一種數到函數的映射，而一元函數則是數到數的映射——這有一點泛函的味道。再用直白的比喻來描述的話，可以將二元函數f(x,y)比作是產生函數的機器，通過設定自變量x來產生一個特定的，自變量是y的一元函數。以電子學中常見的正弦信號復數表示舉例，f(ω,t)=e ^jωt是自變量為w,t的二元復變函數。通過指定一個角頻率ω ₀，f就變為一個表示角頻率為ω ₀的一元函數f'(t)=e ^jω₀t。（注意這里說的復數表示和下文中不一樣，這里的復指數是電子學里應用於廣義歐姆定律的表示法，實際值需要取實部。）

1. 三角函數的復指數表示

這節沒什么好說的，純屬是正題的前置內容，了解的可以跳過。通過歐拉公式Ae ^jωt=Acos(ωt)+Aj sin(ωt)易得Acos(ωt)=A/2 e ^jωt+A/2 e ^-jωt（sin的表示就先略過，有興趣自己推）。

1. 沖激函數和取樣性質

這節也是前置知識。單位沖激函數可以理解為一個積分為1，中心在x=0，寬度無窮小的脈沖。沖激函數最重要的一條性質是取樣性質，也即沖激函數δ(x-x ₀)與任一函數f(x)的乘積δ(x-x ₀)f(x)在x=-∞到x=+∞上的積分的值等於f(x ₀)。直白地說即中心在x ₀上的單位沖激函數和f(x)相乘再對x積分后即得到f(x)在x ₀處的值。取樣性質的證明很好理解也很容易找到，這里略過。

1. 傅里葉反變換：怎么產生期望的三角函數？

先說傅里葉反變換是因為其結果是時域上的三角函數（或其疊加），我們相對熟悉很多。考慮頻域上的兩個沖激函數的疊加s(ω)=δ(ω-ω ₀)+δ(ω+ω ₀)（也即中心在±ω ₀處，相對y軸對稱的兩個單位沖激函數），如果已知這是一個時域上的余弦函數f(t)=2cos(ω ₀t)的傅里葉變換，采取什么樣的操作才能把這一函數s變回原來的函數f？傅里葉反變換說，將函數s與e ^jωt相乘，再在ω=-∞到ω=+∞上積分即可得到f。利用取樣性質，我們馬上意識到，這實際上就是取e ^jωt在ω=±ω ₀的值。但是取一個二元函數在一個自變量確定時的值是什么意思？回想第一節的內容，這實際上是產生了兩個一元函數e ^±jω₀t。再結合第二節的公式，馬上得到這兩個函數的和e ^jω₀t+e ^-jω₀t正是f(t)=2cos(ω ₀t)。 從第二節的角度再次理解傅里葉反變換實際上在做什么。當指定ω時，e ^jωt就變成了一個產生某個特定版本的e ^jω₀t的“機器”。現在的問題是，通過何種操作，可以讓這個“機器”產生的函數，正好可以表示某一特定頻率ω ₀的余弦函數？現在我們知道了，這一操作是與兩個中心在±ω ₀處的沖激函數相乘再積分。

1. 傅里葉變換：怎么產生期望的頻譜？

有了傅里葉反變換的經驗，我們終於可以回到傅里葉變換上了。 回想傅里葉反變換，我們通過頻譜“定制”了“機器”e ^jωt的輸出，使其產生期望的三角函數。現在我們希望通過三角函數“定制”另一種“機器”，使其產生頻譜。傅里葉變換說，這台“機器”是e ^-jωt，比反變換的那台在指數上多了個負號。現在將ω ₀設為0，考慮f(t)=2cos(ω ₀t)，也即e ^jω₀t+e ^-jω₀t和e ^-jωt的乘積。我們發現f的值變為了一常數2，該乘積結果為2e ^-jωt。我們暫時無法計算這一函數在t=-∞到t=+∞上的（奇異）積分，但根據傅里葉反變換，可以預見到，該積分的結果一定是一個中心在ω=0處，積分為2的沖激函數。而當ω ₀不為零時，上述乘積變為e ^j(ω+ω₀)t+e ^j(ω₀-ω)t，可以想到其圖像是兩個單位沖激函數分別向正負平移ω ₀后的疊加。

1. 為什么是-jωt

無疑上一節的解釋多少還是有讓人覺得牽強的地方：我們沒有直接推導沖激函數是怎么由復指數函數積分來的，更沒有像第四節里那樣把指數jωt和結果聯系起來，所以我們要問，為什么傅里葉變換中e的指數是-jωt？換一種思路來看傅里葉反變換，函數s可以看成一種“權”，而整個反變換可以看成是將一系列ω不同的e ^jωt加權（相乘）再累加（積分）。如果希望還原這一操作的結果，得到權函數s本身，就需要將剛才乘上的e ^jωt消去——也就是乘上其倒數e ^-jωt。