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模塊導圖
知識剖析
不等式關系與不等式
1 不等式的性質
\((1)\)傳遞性：\(a>b ,b>c⇒ a>c\)；
\((2)\)加法法則：\(a>b ⇒ a+c>b+c\),\(a>b ,c>d ⇒ a+c>b+d\)；
\((3)\)乘法法則：\(a>b ,c>0 ⇒ ac>bc\),\(a>b ,c<0⇒ac<b c\)；
\((4)\)倒數法則：\(a>b, a b>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\)；
\((5)\)乘方法則：\(a>b>0 \Rightarrow a^{n}>b^{n}\)(\(n∈ N^*\)且\(n>1\))；
2 比較\(a ,b\)大小
\((1)\)作差法(\(a-b\)與\(0\)的比較)
\(a-b>0\Rightarrow a>b\);\(a-b=0\Rightarrow a=b\);\(a-b<0\Rightarrow a<b\)
\((2)\)作商法(\(\dfrac{a}{b}\)與\(1\)比較)
\(\dfrac{a}{b}>1, b>0 \Rightarrow a>b\)；\(\dfrac{a}{b}>1, b<0 \Rightarrow a<b\)
一元二次不等式及其解法
1二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：
(以下均以為例)
2二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系，可充分利用二次函數圖像去理解；
3求解一元二次不等式時，利用二次函數圖像思考，需要確定二次函數的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關，而對稱軸是不會影響解集的.
一元二次不等式的應用
1 分式不等式的解法
解分式不等式可等價為有理整式不等式(組)求解.
由於\(\dfrac{a}{b}>0\)與\(ab>0\)均意味\(a,b\)同號，
故\(\dfrac{a}{b}>0\)與\(ab>0\)等價的；
\(\dfrac{a}{b}<0\)與\(ab<0\)均意味\(a,b\)異號，
故\(\dfrac{a}{b}<0\)與\(ab<0\)等價的；
可得①\(\dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \Rightarrow f(x) g(x)>0\)，\(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \geq 0\)且\(g(x)≠0\).
\({\color{Red}{ Eg }}\)\(\dfrac{x-1}{x-2}>0 \Rightarrow(x-1)(x-2)>0\);\(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \leq 0\)且\(x-2≠0\).
②\(\dfrac{f(x)}{g(x)}<0 \Rightarrow f(x) g(x)<0\)，\(\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \leq 0\)且\(g(x)≠0\).
\({\color{Red}{ Eg }}\)\(\dfrac{x-1}{x-2}<0 \Rightarrow(x-1)(x-2)<0\);\(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \leq 0\)且\(x-2≠0\).
2 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先進行因式分解，化為\((x-x_1 )(x-x_2 )…(x-x_n )>0\)(或\(<0\))的形式，然后用穿針引線法求解.首先保證每個因式中\(x\)的系數為正，然后從右側畫起，右側第一個區間為正，從右向左依次正負出現，特別要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某個因式的次數.
\({\color{Red}{ Eg }}\)
解\((x+1)(x-2)(x-3)(x-4)≥0\)，如圖所示，解集為\(\{x|x≥4或2≤x≤3或x≤-1\}\).
解\((x+1) (x-2)^2 (x-3) (x-4)^3≤0\)，如圖所示，解集為\(\{x|x≤-1或x=2或3≤x≤4\}\).
經典例題
【題型一】不等式性質的運用
【典題1】實數\(a、b、c\)滿足\(a>b>c\)，則下列不等式正確的是 ( )
A．\(a+b>c\) \(\qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{a-c}<\dfrac{1}{b-c}\)\(\qquad \qquad\) C．\(a|c|>b|c|\) \(\qquad \qquad\)D．\(\dfrac{a b^{2}}{c^{2}+1}<\dfrac{a^{2} b}{c^{2}+1}\)
【解析】\(∵a>b>c\)，
\(∴\)對於\(A\)，\(a+b>c\)錯誤，比如\(-4>-5>-6\)，得出\(-4+(-5)<-6\)；
對於\(B\)．\(a-c>b-c>0\)，\(\therefore \dfrac{1}{a-c}<\dfrac{1}{b-c}\)，\(∴\)該選項正確；
對於\(C\)．\(a|c|>b|c|\)錯誤，
比如\(|c|=0\)時，\(a|c|=b|c|\)；
對於\(D\)．\(∵a b^{2}-a^{2} b=a b(b-a)\)，
\(∴a b(b-a)=0\)時，\(a b^{2}=a^{2} b\)，
\(\therefore \dfrac{a b^{2}}{c^{2}+1}=\dfrac{a^{2} b}{c^{2}+1}\)，\(∴\)該選項錯誤．
故選：\(B\)．
【點撥】涉及不等式的選擇題，適當利用“取特殊值排除法”會做得更快些.
【典題2】已知\(a>0\)，試比較\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}\)與\(\dfrac{a+1}{a-1}\)的值的大小．
【解析】\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}-\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a^{2}+1-(a+1)^{2}}{a^{2}-1}=\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}\)， \({\color{Red}{(作差法) }}\)
\((i)\)當\(a>1\)時，\(-2a<0\)，\(a^2-1>0\)，
則\(\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}<0\)；
\({\color{Red}{ (確定差\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}與0的大小)}}\)
即\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)
\((ii)\)當\(0<a<1\)時，\(-2a<0\),\(a^2-1<0\)，
則\(\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}>0\)；即\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)．
綜上可得\(a>1\)時，\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)；
\(0<a<1\)時，\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)．
【點撥】比較兩個式子的大小，可用做差法或做商法；一般冪的形式比較大小用作商法，比如比較\(a^{a} b^{b}\)與\((a b)^{\frac{a+b}{2}}\)；多項式形式常用做差法，比如比較\(xy\)與\(x+y-1\).
【典題3】已知\(C>1\)，\(a=\sqrt{C+1}-\sqrt{C}\)，\(b=\sqrt{C}-\sqrt{C-1}\)，則正確的結論是( )
A．\(a<b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(a>b\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C\(．a=b\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(a\)與\(b\)的大小不確定
【解析】 \({\color{Red}{方法一 \quad 特殊值法 }}\)
取特殊值，令\(c=2\)，
則\(a=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，
易知\(a<b\), 排除\(B,C\)，還不能排除\(D\)，猜測選\(A\).
\({\color{Red}{方法二 \quad 做差法，分析法 }}\)
\(a-b=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}-(\sqrt{c}-\sqrt{c-1})\)\(=\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}-2 \sqrt{c}\)
要比較\(a ,b\)大小，
只需要比較\(\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}\)與\(2 \sqrt{c}\)的大小
\(\Leftrightarrow\)比較\((\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1})^{2}\)與\(4c\)的大小
\({\color{Red}{(遇到二次根式可考慮平方去掉根號) }}\)
\(\Leftrightarrow\)比較\(2 c+2 \sqrt{c^{2}-1}\)與\(4c\)的大小
\(\Leftrightarrow\)比較\(\sqrt{c^{2}-1}\)與\(c\)的大小
而顯然\(\sqrt{c^{2}-1}<c\)，
故\(\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}<2 \sqrt{c}\)，故\(a<b\)，故選\(A\).
\({\color{Red}{ 方法三 \quad 共軛根式法}}\)
\(\sqrt{c+1}-\sqrt{c}=\dfrac{(\sqrt{c+1}-\sqrt{c})(\sqrt{c+1}+\sqrt{c})}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\)\(\sqrt{c}-\sqrt{c-1}=\dfrac{(\sqrt{c}-\sqrt{c-1})(\sqrt{c}+\sqrt{c-1})}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}\)，
\(∵c>1\)，
\(\therefore c+1>c-1>0 \Rightarrow \sqrt{c+1}>\sqrt{c-1}\)\(\Rightarrow \sqrt{c+1}+\sqrt{c}>\sqrt{c}+\sqrt{c-1}>0\)，
\(\therefore \dfrac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}<\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}\)，即\(a<b\)，故選\(A\).
【點撥】
① 比較兩個式子的方法很多，選擇題可以考慮取特殊值排除法；
② 方法二中，遇到帶有根號的常常兩邊平方去掉根號再比較，此時注意兩個式子是否都是正數；在思考的過程中，不斷使用“等價轉化”把比較的兩個式子越化越簡單，等價過程中注意嚴謹；
③ 方法三中注意到\((\sqrt{c}-\sqrt{c-1})(\sqrt{c}+\sqrt{c-1})=1\).
若\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)，\(B=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)，\(A,B\)互為共軛根式，它們的乘積、平方和差有一定的特點.
\(A B=x-y\)，\(A^{2}+B^{2}=2(x+y)\)，\(A^{2}-B^{2}=4 \sqrt{x y}\).
鞏固練習
1 (★) 已知\(-1<b<0\),\(a<0\)，那么下列不等式成立的是( )
A．\(a>ab>ab^2\) \(\qquad \qquad\)B．\(ab^2>ab>a\) \(\qquad \qquad\)C．\(ab>a>ab^2\) \(\qquad \qquad\)D．\(ab>ab^2>a\)
2(★★)設\(\dfrac{1}{b}<\dfrac{1}{a}<0\)，則下列不等式恆成立的是( )
A．\(a>b\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{a}{b}<a-b\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{b^{3}}{a^{3}}+\dfrac{a^{3}}{b^{3}}>2\)\(\qquad \qquad \qquad\)D．\(\dfrac{1}{|b|}<\dfrac{1}{|a|}\)
3(★★)已知\(a ,b∈R\)，且\(P=\dfrac{a+b}{2}\)，\(Q=\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)，則\(P、Q\)的關系是( )
A．\(P≥Q\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(P>Q\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(P≤Q\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(P<Q\)
4(★★)若\(P=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+5}\)，\(Q=\sqrt{a+1}+\sqrt{a+7}(a \geq 0)\)，則\(P，Q\)的大小關系是( )
A．\(P=Q\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(P>Q\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(P<Q\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．由\(a\)的取值確定
5(★★★)設\(S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}\)\(+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}\),\(a ,b ,c ,d∈R^+\)，則下列判斷中正確的是( )
A．\(0<S<1\)\(\qquad \qquad \qquad\)B．\(1<S<2\)\(\qquad \qquad \qquad\)C．\(2<S<3\)\(\qquad \qquad \qquad\)D．\(3<S<4\)
答案
1.\(D\)
2.\(C\)
3.\(C\)
4.\(B\)
5.\(B\)
【題型二】二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系
【典題1】如果關於\(x\)的不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集為\(-1<x<2\)，則關於\(x\)的不等式\(bx^2-ax-c>0\)的解集為\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】關於\(x\)的不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集為\(-1<x<2\)，
\(∴-1、2\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的兩實數根，且\(a<0\)，
由韋達定理得\(\left\{\begin{array}{l} -1+2=-\dfrac{b}{a} \\ -1 \times 2=\dfrac{c}{a} \end{array}\right.\)，
\(∴b=-a>0\),\(c=-2a>0\)，
\(∴\)不等式\(b x^{2}-a x-c>0\)化為\(-ax^2-ax+2a>0⇒x^2+x-2>0\)，
即\((x-1)(x+2)>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>1\)；
則該不等式的解集為\((-∞ ,-2)∪(1 ,+∞)\)．
【點撥】通過二次函數的圖像理解，二次函數、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關系.
【典題2】解關於\(x\)的不等式：\(\dfrac{x-2}{x+3} \geq 2\)
【解析】\(\dfrac{x-2}{x+3}-2 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x-2-2(x+3)}{x+3} \geq 0\)
\(\Rightarrow \dfrac{-x-8}{x+3} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x+8}{x+3} \leq 0\)；
等價變形為\((x+8)(x+3)≤0\)且\(x+3≠0\)
\({\color{Red}{(注意分母x+3≠0) }}\)
解得\(-8≤x<-3\).
鞏固練習
1(★)若不等式\(2 k x^{2}+k x-\dfrac{3}{8}<0\)對一切實數\(x\)都成立，則\(k\)的取值范圍為 ( )
A．\(-3<k<0\) \(\qquad \qquad\) B．\(-3≤k<0\) \(\qquad \qquad\) C．\(-3≤k≤0\) \(\qquad \qquad\) D．\(-3<k≤0\)
2(★★)若關於\(x\)的不等式\(x^2-3ax+2>0\)的解集為\((-∞ ,1)∪(m ,+∞)\)，則\(a+m\)等於( )
A．\(-1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
3(★★)若不等式\(ax^2+2x+c<0\)的解集是\(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)，則不等式\(cx^2-2x+a≤0\)的解集是( )
A．\(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}\right]\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right]\) \(\qquad \qquad\) C．\([-2,3]\) \(\qquad \qquad\) D．\([-3 ,2]\)
4(★★)【多選題】關於\(x\)的一元二次不等式\(x^2-6x+a≤0(a∈Z)\)的解集中有且僅有\(3\)個整數，則\(a\)的取值可以是( )
A．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(9\)
5(★★)不等式\(\dfrac{3 x+1}{3-x}>-1\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\).
6(★★)已知不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集是\(\{x \mid \alpha<x<\beta\}\)，\(\alpha>0\)，則不等式\(cx^2+bx+a>0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\) .
7(★★)不等式\(\dfrac{a x}{x-1}<1\)的解集為\(\{x|x<1或x>2\}\)，則\(a\)值是 \(\underline{\quad \quad}\).
參考答案
1.\(D\)
2.\(D\)
3.\(C\)
4.\(ABC\)
5.\((-2，3)\)
6.\(\left(\dfrac{1}{\beta}, \dfrac{1}{\alpha}\right)\)
7.\(a=\dfrac{1}{2}\)
【題型三】求含參一元二次不等式
角度1：按二次項的系數\(a\)的符號分類，即\(a>0\),\(a=0\),\(a<0\);
解不等式\(ax^2+(a+2) x+1>0\).
【解析】
\({\color{Red}{ (不確定不等式對應函數y=ax^2+(a+2) x+1是否是二次函數，分a=0與a≠0討論)}}\)
\((1)\)當\(a=0\)時，不等式為\(2x+1>0\)，解集為\(\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}\)；
\((2)\)當\(a≠0\)時，\(\because \Delta=(a+2)^{2}-4 a=a^{2}+4>0\)
\({\color{Red}{ (二次函數y=ax^2+(a+2) x+1與x軸必有兩個交點)}}\)
解得方程\(ax^2+(a+2) x+1=0\)兩根\(x_{1}=\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\)，\(x_{2}=\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\)；
\({\color{Red}{(二次函數的開口方向與不等式的解集有關，分a>0與a<0討論) }}\)
\((i)\)當\(a>0\)時，解集為\(\left\{x \mid x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a} \text { 或 } x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\)；
\((ii)\)當\(a<0\)時, 解集為\(\left\{x \mid \dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}<x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\).
\({\color{Red}{(注意x_1,x_2的大小) }}\)
綜上，當\(a=0\)時，解集為\(\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}\)；
當\(a>0\)時，解集為\(\left\{x \mid x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a} \text { 或 } x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\)；
當\(a<0\)時, 解集為\(\left\{x \mid x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a} \text { 或 } x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\).
角度2：按判別式的符號分類
解不等式\(x^2+ax+4>0\).
【解析】\(∵Δ=a^2-16\)
\({\color{Red}{(此時不確定二次函數y=x^2+ax+4是否與x軸有兩個交點，對判別式進行討論) }}\)
\(∴\)①當\(-4<a<4\)，即\(Δ<0\)時，解集為\(R\)；
②當\(a=±4\)，即\(Δ=0\)時，解集為\(\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{2}\right\}\)；
③當\(a>4\)或\(a<-4\)，即\(Δ>0\)時，
此時兩根為\(x_{1}=\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}\)，\(x_{2}=\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\)，顯然\(x_1>x_2\)，
\(∴\)不等式的解集為\(\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2} \text { 或 } x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}\).
綜上，當\(-4<a<4\)時，解集為\(R\)；
當\(a=±4\)時，解集為a>4；
當\(a>4\)或\(a<-4\)時，解集為\(\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2} \text { 或 } x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}\).
角度3：按方程的根大小分類
解不等式\(x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1<0\)\((a≠ 0)\).
【解析】原不等式可化為：\((x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)<0\),
令\((x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)=0\)，得\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=\dfrac{1}{a}\)
\({\color{Red}{(因式分解很關鍵，此時確定y=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)與x軸有交點， x_1,x_2的大小影響不等式解集) }}\)
\(∴(i)\)當\(x_1=x_2\)時，即\(a=\dfrac{1}{a} \Rightarrow a=\pm 1\)時，解集為\(\varnothing\)；
\((ii)\)當\(x_1<x_2\)時，即\(a<\dfrac{1}{a} \Rightarrow a<-1\)或\(0<a<1\)時，解集為\(\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}\)；
\((iii)\)當\(x_1>x_2\)時，即\(a>\dfrac{1}{a} \Rightarrow-1<a<0\)或\(a>1\)時，解集為\(\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}\).
綜上，當\(a=±1\)時，解集為\(\varnothing\)；
\((ii)\)當\(a<-1\)或\(0<a<1\)時，解集為\(\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}\)；
\((iii)\)當\(-1<a<0\)或\(a>1\)時， 解集為\(\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}\).
【點撥】
① 當求解一元二次不等式時，它是否能夠因式分解，若可以就確定對應的二次函數與\(x\)軸有交點，就不需要考慮判別式.
常見的形式有\(x^{2}-(a+1) x+a=(x-1)(x-a)\),\(x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)\)，
\(ax^2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)\)等，若判別式Δ是一個完全平方式，它就能做到“較好形式的十字相乘”，當然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含參的一元二次不等式，需要嚴謹，多從二次函數的開口方向、判別式、兩根大小的比較三個角度進行分類討論，利用圖像進行分析.
鞏固練習
1(★★) 關於x的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)的解集中恰有\(1\)個整數，則實數\(a\)的取值范圍是 ( )
A．\((-1 ,0]∪[2 ,3)\) \(\qquad \qquad\) B．\([-2 ,-1)∪(3 ,4]\) \(\qquad \qquad\) C．\([-1 ,0)∪( 2 ,3]\) \(\qquad \qquad\) D．\((-2 ,-1)∪(3 ,4)\)
2(★★) 解關於\(x\)的不等式\(x^2+2x+a>0\)．
3(★★)解關於\(x\)的不等式：\(2x^2+ax+2>0(a∈R)\)．
4(★★★)若\(a∈R\)，解關於\(x\)的不等式\(ax^2+(a+1)x+1>0\)．
5(★★★)關於\(x\)的不等式\((a x-1)^{2}<x^{2}\)恰有\(2\)個整數解，求實數\(a\)的取值范圍.
參考答案
1.\(C\)
2.\(a>1\)時，不等式的解集是\(R\)，
\(a=1\)時，不等式的解集是\(\{x|x≠-1\}\)，
\(a<1\)時，不等式的解集是\(\{x \mid x>-1+\sqrt{1-a} \text { 或 } x<-1-\sqrt{1-a}\}\)．
3.\(a>4\)或\(a<-4\)時，不等式的解集為\(\left\{x \mid x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{4} \text { 或 } x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{4}\right\}\)
\(a＝±4\)時，不等式的解集為\(\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{4}\right\}\)；
\(-4<a<4\)時，不等式的解集為\(R\)．
4. 當\(a<0\)時，解集是\(\left(-1,-\dfrac{1}{a}\right)\)；
當\(a=0\)時，解集是\((-1 ,+∞)\)；
當\(0<a≤1\)時，解集是\(\left(-\infty,-\dfrac{1}{a}\right) \cup(-1,+\infty)\)；
當\(a>1\)時，解集是\((-\infty,-1) \cup\left(-\dfrac{1}{a},+\infty\right)\)．
5.\(\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{4}{3}\right] \cup\left[\dfrac{4}{3}, \dfrac{3}{2}\right)\)