信號的描述
信號的分類
連續信號和隨機信號
- 連續時間信號: 在一定的連續的時間范圍內，對於任意的時間值，都有對應的函數值簡稱連續信號.
- 連續指的是時間上的連續,而非曲線取值(值域)的連續.
- 離散時間信號:僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(時間上是離散的)
- 通常取等間隔T，表示為f(kT)，簡寫為f(k).等間隔的離散信號稱為序列，其中k稱為序號
周期信號和非周期信號
能量信號和功率信號
信號的基本運算
信號的時間變換
- 信號反轉
沒有實現此功能的實際器件。
- 信號的平移
- 信號展縮
- 注意
- 混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注意一切變換都是相對t而言的
- 對正向運算，先平移，后反轉和展縮不易出錯，逆運算則反之
微分和積分
- 這里求微分時的圖像需要分開按照每段來看，按照段函數划分。可以從下圖看出，有斜率的用線表示。而水平的線用沖擊表示，沖擊強度為其取值的相反數。另外沖擊信號的方向同其線的方向。
- 積分的圖可簡單看出，其平線表示的是積分后該部分函數的斜率，其起始點則是平線的起始位置。沒有點的地方則以水平線表示。
階躍函數和沖激函數
- 它們是奇異函數。
階躍函數
階躍函數圖像的變化規則同上面的變化，以t0點作為變化點。
- 階躍函數的性質
沖激函數
奇異函數。
- 狄拉克定義
- 性質
- 取樣性：即其乘以一個沖激，則只有0處有定義。可以直接化簡出一個函數。
- 沖激偶
注意其第一個性質，沖激導數與函數乘積的變換。
性質總結：
- 尺度變化
δ(t)與ε(t)的關系
卷積積分
定義
卷積的算法
- 圖解法
例：
卷積是兩個函數表達式相乘后的積分，各個積分限是各個不同的階段。如上圖選擇的就是以f(t)做的平移變換，因為相較而言它簡單一些
卷積的性質
- 交換律
- 卷積結果與交換兩函數的次序無關，一般選比較簡單函數進行反轉和平移
- 分配律
並聯系統沖激響應等於子系統沖激響應之和
- 結合律
串聯系統沖激響應等於子系統沖激響應的卷積
與沖激函數的卷積
-
-
-
-
卷積的時移性
-
與階躍的卷積
- 例題：
注意方法二中，對於兩個一顆皮龍的計算化簡
卷積的微積分性質
- 例題
相關函數
定義
實能量有限函數
注意有(互)相關和自相關函數兩種之分。
實功率有限信號
- 結論
-
周期信號自相關函數仍為周期信號，且周期相同。
-
自相關函數是一偶函數，R(0)為最大值。
-
余弦函數自相關函數仍為余弦;同理可證，任意相位的正弦，余弦之自相關函數仍為余弦。
相關與卷積的關系
傅里葉變換和系統的頻域分析
信號分解為正交函數
可使用由矢量空間正交分解推廣到信號空間的方式
信號正交與正交函數集
完備正交集即包含了所有正交函數。
信號的正交分解
- 帕薩瓦爾公式
傅里葉級數（周期信號）
- 傅里葉級數的三角形式
上圖中的f(t)即為傅里葉級數的三角形式。表明周期信號可分解為直流和許多余弦分量。同時，周期信號f(t)還可以分為傅里葉級數的指數形式：如下圖:
- 指數形式
Fn稱為復傅里葉系數/各頻率分量的復數幅度
- 帕薩瓦爾等式
信號頻譜
周期信號頻譜
- 概念
- 例題
上題中，使用三角公式即是將函數化為余弦形式。通過定義式來求解。
周期信號的定義式：
- 特點
- 周期信號的頻譜具有諧波（離散）性，譜線位置是基頻的整數倍
- 具有收斂性，總趨勢減小
頻帶寬度
在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍內的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度
帶寬與脈寬成反比
系統的通頻帶>信號的帶寬--->不失真
非周期信號的頻譜
傅里葉變換對
f(t)對F的逆傅里葉變換
常用傅里葉變換
sint/t 為抽樣函數，即Sa(t)
sgn為符號函數，大於0為1，小於0為-1，0處為0
門函數的寫法：套等於門的寬度，t對應的是門的中點
在求傅里葉變換看格式時，可以看它是否是由多個常見格式相乘而得到的。如1/t平方的傅里葉變換，可以先求1/t的變換，1/t的積分則可以得到1/t平方
- 線性
f(t) = f(t1)-f(t2) 則 F(w) = F(w1) + F(w2);
- 對稱性(常用)
例題
- 尺度變換性質
特例：當a==-1時，f(-t)其傅里葉變換為F(-jw)
尺度變換的意義
以
為例：
- 0<a<1 時域(t)擴展，頻域(w)壓縮
- a>1 時域壓縮，頻域擴展a倍
- a=-1時域反轉，頻域也反轉
時移特性
如一個不在0點處的門函數做傅里葉變換，那么它的值在變換后，還應該加上exp(jwt)
注意尺度變換與時移相結合的變換，變換都是對於t而言的
頻移性質
他們的變換可逆。f<->F。
此類例題經常使用他們的反變換。
注意頻移和時移的特性
卷積性質
時域微分和積分
微分：
積分：
注意F下標表示的是其中的f導的次數。如F2(jw) = F[f二次導]
頻域的微分和積分
帕薩瓦爾關系
能量譜
能量譜為單位頻率的信號能量，E(w)
頻帶df內的信號的能量為E(w)df，總能量為
正余弦的傅里葉變換
上圖中的公式常用。