1. 系統知識點
1.1. 系統的表示
- 箭頭/方框表示 \(f(t)\to y(t)\)，\(f(t)\to \boxed{H} \to y(t)\)
- 算子表示 \(y(t)=H[f(t)]\)
- 數學模型表示（差分方程或微分方程）
1.2. 系統的分類
1.2.1. 連續/離散時間系統
將連續時間輸入信號變換為連續時間的輸出信號的系統，稱為連續時間系統；
將離散時間輸入信號變換為離散時間的輸出信號的系統，稱為離散時間系統。
1.2.2. 線性/非線性系統
線性系統滿足3個條件：
-
系統具有分解性
系統的全響應可以分解為只由初始狀態引起的零輸入響應\(y_{_x}(t)/y_{_0}[n]\)和只由輸入引起的零狀態響應\(y_{_f}(t)/y_{_x}[n]\)之和，記為：
\[\begin{aligned} y(t) &= y_{_x}(t) + y_{_f}(t)\\ y[n] &= y_{_0}[n] + y_{_x}[n] \end{aligned} \] -
系統具有零輸入線性
\[\begin{aligned} ay_1(0) + by_2(0) &\to ay_{x_1}(0) + by_{x_2}(0) \\ ay_1[0] + by_2[0] &\to ay_{_{0_1}}[0] + by_{_{0_2}}[0] \\ \end{aligned} \] -
系統具有零狀態線性
\[\begin{aligned} ax_1(t) + bx_2(t) &\to ay_{_{f_1}}(t) + by_{_{f_2}}(t) \\ ax_1[n] + bx_2[n] &\to ay_{_{x_1}}[n] + by_{_{x_2}}[n] \\ \end{aligned} \]
【例】
- 典型的不滿足可分解性的例子就有：\(y(t) = y(0)x(t)\)
一般的時候會遇到零輸入響應為0的情況，此時只需判斷的零狀態響應線性即可（如 \(y(t)=tf(t)\) ）。
但是如果零輸入響應為一個非零的常數（此時不滿足線性），則此系統為增量線性系統（假設滿足零狀態響應線性），仍屬於非線性系統。 - 根據定義很容易判斷零輸入/零狀態是否線性，比如常見的 \(y(t)=f^2(t)\) 就是典型的非線性，另外像微分算子 \(y(t)=\frac{df(t)}{dx}\)，積分算子 \(y(t)=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\) 都是的線性算子。
1.2.3. 時變/時不變系統
系統的時不變性指的是：輸入信號在時間上有一個平移，系統的零狀態響應也會產生一個同樣的時間上的平移，即：
如果 \(f(t)\to y_{_f}(t)\)，則 \(f(t-t_0) \to y_{_f}(t-t_0)\)或
如果 \(x[n]\to y_{_x}[n]\)，則 \(x[n-n_0]\to y_{_x}[n-n_0]\)；
【注意】 特別小心這種“時間反轉、擴展壓縮”的信號，如：
\[\begin{aligned} & y(t) = x(at)，如 \begin{cases} y(t) = x(2t)\\ y(t) = x(-t) \end{cases} 均為時移系統,\\ & \begin{cases} y(t) = \int_{-\infty}^{2t} x(\tau) d\tau 為時移系統\\ y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau 為時不變系統\\ \end{cases}； \end{aligned} \]
還有一種就是“輸入信號與時間函數”的乘積，如 \(y(t)=tf(t), y(t)=\sin(t)f(t)\) 等均是時移系統。
1.2.4. 因果/非因果系統
因果系統的當前輸出只與當前時刻或當前時刻之前的輸入有關，而與未來的輸入無關，又稱為“物理可實現系統”。
非因果系統的輸出與未來的時刻的輸入有關。
【注意】 從定義上很容易判斷出，注意幾個特殊的：
-
“時間反轉、擴展壓縮”的信號
\[y(t)=f(at) \begin{Bmatrix} y(t) = f(2t),& y(1) = f(2)\\ y(t) = f(\frac{1}{2}t),& y(-1) = f(-\frac{1}{2})\\ y(t) = f(-t),& y(-1) = f(1)\\ y(t) = f(-\frac{1}{2}t),& y(-1)=f(\frac{1}{2})\\ y(t) = f(-2t),& y(-1)=f(2)\\ \end{Bmatrix} 非因果 \] -
微分、差分等運算
\[\begin{aligned} y(t) &= \frac{df(t)}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}, \Delta t 可正可負，故為非因果系統；\\ y[n] &= \Delta x[n] = x[n+1] - x[n]，前向差分為非因果系統；\\ y[n] &= \triangledown x[n] = x[n] - x[n-1]，后向差分為因果系統；\\ y(t) &= \int_{-\infty}^{2t} f(\tau) d\tau ，時間壓縮了，也是非因果系統。 \end{aligned} \]
1.2.5. 穩定/非穩定系統
對於任意一個有界輸入，輸出也有界的系統為穩定系統。
1.2.6. 記憶/無記憶系統
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無記憶系統
系統的輸出信號只取決於當前時刻的激勵信號，而與過去的工作狀態無關（如純電阻電路）
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有記憶系統
系統的輸出信號不僅取決於當前時刻的激勵信號，而與過去的輸入有關（如含有電感，電容的電路）
1.3. 系統的互聯
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串聯
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並聯
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反饋