【學習筆記】信號與系統知識點總結（持續更新）

1、信號與系統的一些基本概念

• 信息——是消息中有意義的內容；
• 信號——是反映信息的各種物理量，是系統直接進行加工、變換以實現通信的對象。
• 信號是信息的表現形式，信息是信號的具體內容；信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。
• 系統(system)——是指若干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。

1.1、信號類型

1.1.1、連續信號和離散信號

• 連續時間信號——在連續的時間范圍內(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續時間信號，簡稱連續信號，實際中也常稱為模擬信號。
• 離散時間信號——僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號，實際中也常稱為數字信號。

1.1.2、周期信號和非周期信號

• 周期信號——是指一個每隔一定時間T，按相同規律重復變化的信號。
• 非周期信號——不具有周期性的信號稱為非周期信號。

1.1.3、實信號和復信號（略）

1.1.4、能量信號和功率信號

• 能量信號——信號總能量為有限值而信號平均功率為零。
• 功率信號——平均功率為有限值而信號總能量為無限大。

1.2、基本運算

1.2.1、加和乘（略）

1.2.2、反轉、平移

• 反轉——將f(t)→f(–t)或f(k)→f(–k)稱為對信號f(·)的反轉或反折，從圖形上看是將f (·)以縱坐標為軸反轉180°。
• 平移——將f(t)→f(t + t₀)稱為對信號f(·)的平移或移位,若t₀< 0，則將f(·)右移,否則左移。

1.2.3、尺度變換

• 尺度變換（橫坐標展縮）——將f(t)→f(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則f(at)將f(t)的波形沿時間軸壓縮至原來的1/a；若0<a<1，則f(at)將f(t)的波形沿時間軸擴展為原來的a倍。

1.3、重要函數（階躍函數、沖激函數）

1.3.1、沖激函數

　　沖激函數：可以方便地表示某些信號，用階躍函數表示信號的作用區間，積分計算；

性質：

• 歸一性質：
• 奇偶性質：單位沖激函數為偶函數，
• 篩分性質：
• 抽樣性質：
• 尺度變換：
• 重要公式：
• 與階躍函數關系：

1.3.2、階躍函數（略）

1.4、系統

1.4.1、數學模型（框圖略）

• 連續系統——微分方程
• 離散系統——差分方程

1.4.2、系統特性

• 線性——齊次性和可加性，能同時滿足齊次性與疊加性的系統稱為線性系統。滿足疊加性是線性系統的必要條件；不能同時滿足齊次性與疊加性的系統稱為非線性系統。

• 時變與時不變——滿足時不變性質的系統稱為時不變系統。時不變性質：若系統滿足輸入延遲多少時間，其激勵引起的響應也延遲多少時間。

• 因果——激勵引起的響應不會出現在激勵之前的系統，稱為因果系統；也就是說，如果響應r(t)並不依賴於將來的激勵[如e(t+1)]，那么系統就是因果的。
• 穩定——一個系統，若對有界的激勵f(.)所產生的響應y=f(.)也是有界時，則稱該系統為有界輸入有界輸出穩定，簡稱穩定；即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞，則稱系統是穩定的。
• 線性時不變系統——LTI連續系統：微分特性和積分特性

2、響應

2.1、零輸入和零狀態

• 零輸入——0-狀態稱為零輸入時的初始狀態，即初始值是由系統的儲能產生的。
• 零狀態——0+狀態稱為加入輸入后的初始狀態，即初始值不僅有系統的儲能，還受激勵的影響。
• 零輸入響應——沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態所產生的響應。
• 零狀態響應——不考慮起始時刻系統儲能的作用，由系統外加激勵信號所產生的響應。

　　在經典法求全響應的積分常數時，用的是0+狀態初始值；

　　在求系統零輸入響應時，用的是0-狀態初始值；

　　在求系統零狀態響應時，用的是0+狀態初始值，這時的零狀態是指0-狀態為零。

• LTI的全響應：y(t) = y_x(t) + y_f(t)。
• 全響應＝齊次解(自由響應)＋特解(強迫響應)
• 自由響應（Natural）＋強迫響應（forced）
• 暫態響應（Transient）+穩態響應（Steady-state）
• 零輸入響應（Zero-input）＋零狀態響應（Zero-state）
• 零輸入響應是自由響應的一部分，零狀態響應有自由響應的一部分和強迫響應構成 。

2.2、沖激（單位序列）響應和階躍響應

2.2.1、LTI連續系統

• 沖激響應——系統在單位沖激信號δ(t)作用下產生的零狀態響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。
• 階躍響應——系統在單位階躍信號ε(t)作用下的零狀態響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用g(t)表示。
• 階躍響應與沖激響應的關系——線性時不變系統滿足微、積分特性。階躍響應是沖擊響應的積分。

2.2.2、LTI離散系統（略）

3、卷積

3.1、卷積積分（連續系統）

定義——已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f₁(t)和f₂(t)，則定義積分：

性質：

• 交換律：ƒ₁(t)*ƒ₂₍t)=ƒ₂(t)*ƒ₁(t)
• 分配律：ƒ₁(t)*[ƒ₂(t)+ƒ₃(t)]=ƒ₁(t)*ƒ₂(t)+ƒ₁(t)*ƒ₃(t)
• 結合律：[ƒ₁(t)*ƒ₂(t)]*ƒ₃(t)=ƒ₁(t)*[ƒ₂(t)*ƒ₃(t)]
• 微分性質：
• 積分性質：
• 微積分性質：
• 時移性質：若ƒ₁(t)*ƒ₂(t)=ƒ(t)，則有ƒ₁(t-t₁)*ƒ₂(t-t₂)=ƒ(t-t₁-t₂)

　　函數與沖激函數的卷積：

• ƒ(t)*δ(t)=δ(t)*ƒ(t)=f(t)
• ƒ(t)*δ(t-t₀)=ƒ(t-t₀)
• δ(t-t₁)*δ(t-t₂)=δ(t-t₁-t₂)
• ƒ(t-t₁)*δ(t-t₂)=ƒ(t-t₁-t₂)

3.2、卷積和（離散系統）

4、傅里葉變換（F）

關於傅里葉級數與變換原理和推導過程詳見另一篇博文https://www.cnblogs.com/lixiaozoe/p/12990028.html

　　信號描述方法：

時域描述（如簡諧信號）

 頻域描述

　　以信號的頻率結構來描述信號的方法：將信號看成許多諧波（簡諧信號）之和，每一個諧波稱作該信號的一個頻率成分，考察信號含有哪些頻率的諧波，以及各諧波的幅值和相角。

4.1、信號分解為正交函數

　　信號分解為正交函數的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。譬如，在平面上的矢量A在直角坐標中可以分解為x方向分量和y方向分量。將空間矢量正交分解的概念推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任一信號均可表示成他們的線性組合。（運用三角函數的正交性）

　　傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析），將信號進行正交分解，即分解為三角函數或復指數函數的組合。

　　頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系。

• 周期——離散
• 非周期——連續

4.2、傅里葉級數（周期信號）

4.2.1、三角函數形式

　　三角展開式： （n=1,2,3......）；另一種形式：

　　傅里葉系數：

式中，T—周期；ω₀—基頻；ω_0=2π/T；另一種形式：

4.2.2、指數形式

• 歐拉公式——or

　　復指數形式：

　　傅里葉系數：

4.3、傅里葉變換（非周期信號）

4.3.1、定義

• 演變思路——視作周期為無窮大的周期函數

　　傅里葉變換：

　　傅里葉反變換：

4.3.2、性質

• 線性：

• 對稱性：

• 尺度變換：

• 時移特性：

• 頻移特性：

• 時域卷積定理：
• 頻域卷積定理：
• 時域微分和積分：
• 頻域微分和積分：f(0)=0

4.4、離散的傅里葉分析（DFS、DTFT、DFT）（略）

5、無失真傳輸和取樣定理

5.1、無失真傳輸

　　無失真傳輸是指系統的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現時間的先后不同，而沒有波形上的變化。設輸入信號為f(t)，那么經過無失真傳輸后，輸出信號應為幅頻特性和相頻特性分別為和

5.2、取樣定理

　　抽樣定理：在一個頻帶限制在（0，f_h）內的時間連續信號f（t），如果以小於等於1/(2f_h)的時間間隔對它進行抽樣，那么根據這些抽樣值就能完全恢復原信號。

　　或者說，如果一個連續信號f（t）的頻譜中最高頻率不超過f_h，這種信號必定是個周期性的信號，當抽樣頻率f _S≥2f_h時，抽樣后的信號就包含原連續信號的全部信息，而不會有信息丟失，當需要時，可以根據這些抽樣信號的樣本來還原原來的連續信號。

6、連續系統s域—拉普拉斯變換（L）

　　引入s=σ+jω（σ、ω均為實數），以復指數函數e^st為基本信號，任意信號可以分解為眾多不同復頻率的復指數分量。用於系統分析的獨立變量是負頻率s，稱為s域分析或復頻域分析。

6.1、定義

　　雙邊拉氏變換對（or復傅里葉變換對）：

　　單邊拉氏變換：單邊拉氏反變換：

6.2、收斂域

　　把使f(t)e^-σt滿足絕對可積條件的σ值的范圍，稱為拉氏變換的收斂域（ROC,Region Of Convergence）。

6.3、拉氏變換的基本性質

• 線性性質：若則
• 時域微分特性：若則
• 時域積分特性：若則
• 延時特性（時域平移）：若則
• s域平移：若則
• 尺度變換：若則（a＞0
• 初值定理：當F(s)為真分式時否則（分別為多項式與真分式）
• 終值定理：當F(s) 的全部極點在s左半平面（允許在s=0處有一階極點，以保證終值存在）時
• 卷積定理：若則（時域卷積定理）（s域卷積定理）
• s域微分與積分：若則

6.4、拉普拉斯逆變換

　　部分分式展開法（僅適用於F(s)為有理分式情況）、圍線積分法（留數法）。

　　部分分式法的實質是利用拉氏變換的線性特性， 先將F(s)分解為若干簡單函數之和， 再分別對這些簡單象函數求原函數。

　　p₁、p₂、…、p_n稱為F(s)的極點；分子多項式也可以表示為A(s)=(s-z₁)(s-z₂)…(s-z_m)，式中z₁,z₂,…,z_m是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點。

　　p₁,p₂,…,p_n既可以是各不相同的單極點，也可能出現有相同的極點即有重極點；分母多項式的階次一般高於分子多項式(m<n)，但也有可能m≥n。

6.5、復頻域分析（略）

7、離散系統z域—z變換（Z）

（待續。。。）