信号傅里叶变换知识点

信号的描述

信号的分类

连续信号和随机信号

• 连续时间信号: 在一定的连续的时间范围内，对于任意的时间值，都有对应的函数值简称连续信号.
  • 连续指的是时间上的连续,而非曲线取值(值域)的连续.

• 离散时间信号:仅在一些离散的瞬间才有定义的信号(时间上是离散的)
  • 通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k).等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号

周期信号和非周期信号

能量信号和功率信号

信号的基本运算

信号的时间变换

• 信号反转

没有实现此功能的实际器件。

• 信号的平移

• 信号展缩

• 注意

1. 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意一切变换都是相对t而言的
2. 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错，逆运算则反之

微分和积分

• 这里求微分时的图像需要分开按照每段来看，按照段函数划分。可以从下图看出，有斜率的用线表示。而水平的线用冲击表示，冲击强度为其取值的相反数。另外冲击信号的方向同其线的方向。
• 积分的图可简单看出，其平线表示的是积分后该部分函数的斜率，其起始点则是平线的起始位置。没有点的地方则以水平线表示。

阶跃函数和冲激函数

• 它们是奇异函数。

阶跃函数

阶跃函数图像的变化规则同上面的变化，以t0点作为变化点。

• 阶跃函数的性质

冲激函数

奇异函数。

• 狄拉克定义

• 性质

1. 取样性：即其乘以一个冲激，则只有0处有定义。可以直接化简出一个函数。

2. 冲激偶

注意其第一个性质，冲激导数与函数乘积的变换。

性质总结：

• 尺度变化

δ(t)与ε(t)的关系

卷积积分

定义

卷积的算法

• 图解法

例：

卷积是两个函数表达式相乘后的积分，各个积分限是各个不同的阶段。如上图选择的就是以f(t)做的平移变换，因为相较而言它简单一些

卷积的性质

• 交换律
  • 卷积结果与交换两函数的次序无关，一般选比较简单函数进行反转和平移
• 分配律

​ 并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和

• 结合律

​ 串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积

与冲激函数的卷积

1. 
2. 
3. 

4. 卷积的时移性

   

5. 与阶跃的卷积

6. 例题：

注意方法二中，对于两个一颗皮龙的计算化简

卷积的微积分性质

• 例题

相关函数

定义

实能量有限函数

注意有(互)相关和自相关函数两种之分。

实功率有限信号

• 结论

1. 周期信号自相关函数仍为周期信号，且周期相同。

2. 自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。

3. 余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。

相关与卷积的关系

傅里叶变换和系统的频域分析

信号分解为正交函数

可使用由矢量空间正交分解推广到信号空间的方式

信号正交与正交函数集

完备正交集即包含了所有正交函数。

信号的正交分解

• 帕萨瓦尔公式

傅里叶级数（周期信号）

1. 傅里叶级数的三角形式

上图中的f(t)即为傅里叶级数的三角形式。表明周期信号可分解为直流和许多余弦分量。同时，周期信号f(t)还可以分为傅里叶级数的指数形式：如下图:

3. 指数形式

Fn称为复傅里叶系数/各频率分量的复数幅度

5. 帕萨瓦尔等式

信号频谱

周期信号频谱

• 概念

• 例题

上题中，使用三角公式即是将函数化为余弦形式。通过定义式来求解。

周期信号的定义式：

• 特点

1. 周期信号的频谱具有谐波（离散）性，谱线位置是基频的整数倍
2. 具有收敛性，总趋势减小

频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围内的信号来表示，此频率范围称为频带宽度

带宽与脉宽成反比

系统的通频带>信号的带宽--->不失真

非周期信号的频谱

傅里叶变换对

f(t)对F的逆傅里叶变换

常用傅里叶变换

sint/t 为抽样函数，即Sa(t)

sgn为符号函数，大于0为1，小于0为-1，0处为0

门函数的写法：套等于门的宽度，t对应的是门的中点

在求傅里叶变换看格式时，可以看它是否是由多个常见格式相乘而得到的。如1/t平方的傅里叶变换，可以先求1/t的变换，1/t的积分则可以得到1/t平方

1. 线性

f(t) = f(t1)-f(t2) 则 F(w) = F(w1) + F(w2);

2. 对称性(常用)

例题

3. 尺度变换性质

特例：当a==-1时，f(-t)其傅里叶变换为F(-jw)

尺度变换的意义

以为例：

1. 0<a<1 时域(t)扩展，频域(w)压缩
2. a>1 时域压缩，频域扩展a倍
3. a=-1时域反转，频域也反转

时移特性

如一个不在0点处的门函数做傅里叶变换，那么它的值在变换后，还应该加上exp(jwt)

注意尺度变换与时移相结合的变换，变换都是对于t而言的

频移性质

他们的变换可逆。f<->F。

此类例题经常使用他们的反变换。

注意频移和时移的特性

卷积性质

时域微分和积分

微分：

积分：

注意F下标表示的是其中的f导的次数。如F2(jw) = F[f二次导]

频域的微分和积分

帕萨瓦尔关系

能量谱

能量谱为单位频率的信号能量，E(w)

频带df内的信号的能量为E(w)df，总能量为

正余弦的傅里叶变换

上图中的公式常用。