進入大二以來一直把學數據結構和算法這事藏在心里，畢竟大學破事太多了，最近實在是按捺不住了。拿起《算法圖解》，結合網絡上的總結，准備循序漸進入門數據結構和算法...
目前筆記里代碼示例我都是用的Python語言（正好學校在教，趁熱打鐵），日后打C/C++基礎后我應該會回來再增加示例。
二分查找的前提
- 查找的數據目標需要是有順序的儲存結構，比如Python中的列表
list。 - 這個數據目標還需要按一個順序排列（升序or降序）。
寫寫練練
Don't try to understand it.Feel it.
廢話不多說了，關於二分查找，我最開始寫了個錯誤的玩意：
# 錯誤寫法例子
my_list = [1, 3, 4, 5, 8, 16, 24, 56, 78]
def find(from_list, which_one):
start = 0
end = len(from_list)-1
while start < end:
middle_ind = (start+end)//2
middle = from_list[middle_ind]
print(start, end)
if middle == which_one:
return middle_ind
elif middle > which_one:
end = middle_ind # 搜索范圍尾部前移
elif middle < which_one:
start = middle_ind # 搜索范圍頭部后移
return False
found_ind = find(my_list, 78)
print(found_ind)
這個例子的問題體現在兩個方面：
-
一旦尋找的是順序儲存結構中沒有的值，會卡在循環里。
-
一旦尋找的是末尾的邊緣值，也會卡在循環里。
-
無論是奇數個數據還是偶數個數據都有這個問題。
從輸出能看到原因：start和end滿足不了end == start的條件，到最后兩值會永遠差1。
我試着用動畫展示一下這個有問題的執行過程：
到最后死循環的時候因為我們將中間值采用了向下取整，導致當start指向倒數第二個索引時卡死在start=7。
通過觀察，咱發現每次卡死的時候 start和end永遠會相差 1。
很明顯了，問題就出現在 每次查找后對start和end的處理 上。就上面這個有問題的代碼而言，其實每次搜索后 如果中間項 < 搜索項目，進行start=middle_ind+1的操作就可以，列個表格：
- 搜尋的值：
78
| 搜尋范圍 (start,end) | middle_ind (中間項的索引) | start=middle_ind+1 | end | 循環繼續 |
|---|---|---|---|---|
| (0,8) | 4 | 5 | 8 | 是 |
| (5,8) | 6 (向下取整) | 7 | 8 | 是 |
| (7,8) | 7 (向下取整) | 8 | 8 | 否 |
↑ 這樣的話就能順利達到查找循環的終止條件start=end了
我的理解：在本次搜索中我們已經檢查了middle_ind對應的項目，下一次搜索范圍的開始(start)就應該從這一項的下一位開始，也就是middle_ind+1。
但是吧，上面我們找的是末尾的值78，如果找的是開頭的值 1 呢？
照葫蘆畫瓢唄~依照上面的思路，每次搜索后的下一次搜索就應該從這一項的前一位了，也就是middle_ind-1。（上面動畫中能直觀看出來范圍下限索引start是趨於增大的，反之范圍上限索引end值就是趨於減小的），再列個表：
- 搜尋的值：
1
| 搜尋范圍 (start,end) | middle_ind (中間項的索引) | start | end=middle_ind-1 | 循環繼續 |
|---|---|---|---|---|
| (0,8) | 4 | 0 | 3 | 是 |
| (0,3) | 1 (向下取整) | 0 | 0 | 否 |
方便直觀對照，我放個靜態圖在這里：
在尋找既不是開頭也不是末尾的值時，搜索過程中往往會交替有start和end的增和減，所以在二分查找程序中關鍵部分就要兼顧上述兩種處理：
if middle == which_one:
return middle_ind
elif middle > which_one:
end = middle_ind-1 # 搜索范圍尾部前移，注意是middle_ind-1
elif middle < which_one:
start = middle_ind+1 # 搜索范圍頭部后移，注意是middle_ind+1
（這也是為什么之前尋找列表中沒有的值時會卡在循環里）
經過這些處理后，咱成功彌補了這個問題。
等等...在搜索列表中開頭或末尾的值時循環在start=end后就停止了...程序仍然無法搜索到開頭或末尾的值，而是返回了False！
通過觀察發現，其實只要再執行一次循環，問題就完美解決了：把循環條件start < end 換成 start <= end (start等於end時繼續循環一次）
最后寫成的二分查找代碼如下：
def find(from_list, which_one):
start = 0 # 開始的索引
end = len(from_list)-1 # 結尾的索引
while start <= end: # 當范圍沒有縮減至start>end時，不停二分查找（易錯點：為什么用<=？因為當start=end的時候會遺漏一個處理項）
middle_ind = (start+end)//2 # 找到二分中間項目的索引，這里向下取整(floordiv)
middle = from_list[middle_ind] # 獲得中間項
if middle == which_one: # 找到了，返回對應的索引
return middle_ind # 找到就停車跑路
elif middle > which_one: # 要尋找的值小於中間值
end = middle_ind-1 # 將范圍尾部索引減小到中間值索引-1（易錯點）
elif middle < which_one: # 要尋找的值大於中間值
start = middle_ind+1 # 將范圍頭部索引start增大到中間值索引+1（易錯點）
return False # 啥都沒找到
最后咱基於上面的寫法整了幾個動畫：
-
尋找列表最開頭的值：
my_list = [1, 3, 4, 5, 8, 16, 24, 56, 78] found_ind = find(my_list, 1) # 0
-
尋找列表中間的一個值：
my_list = [1, 3, 4, 5, 8, 16, 24, 56, 78] found_ind = find(my_list, 16) # 5
-
尋找一個找不到的值：
my_list = [1, 3, 4, 5, 8, 16, 24, 56, 78] found_ind = find(my_list, 6) # False
時間復雜度
通過大O表示法咱可以寫成 O(f(n)) 這樣，其中：
n是操作的數據的規模。f(n)是操作的次數（程序執行的次數）。- 大O的量和
f(n)成正比（這是不是說明看O其實就可以粗略地看f(n)？）。
上面例子的列表中有9個元素，數據規模 n=9，這些例子中除了卡死循環的情況外，我發現程序 最多 執行檢查4次，而不是9次——
——因為每次執行操作后會將搜索范圍折半，也就是每次操作后數據規模會成半縮減：
（字丑勿cue ┑(￣Д ￣)┍）
所以二分查找的時間復雜度表示為 O(log2n)。
為什么說到“最多”這個詞呢？因為大O時間體現的是最不理想情況下的運行時間，也就是該算法的時間復雜度的上界。
更多的寫法
這篇筆記里的二分查找寫法只是所有寫法中的一種。我認為掌握一個算法並不是要對每種寫法都了如指掌，而是要去理解其中的原理。
這里貼個知乎問題貼：
注意這個鏈接里的回答說 median = ( low + high ) / 2 寫法會溢出是 C/C++ 里的一個小坑。
該筆記於Github倉庫撰寫： https://github.com/cat-note/bottleofcat/blob/main/Algo/BinarySearch.md