數據結構50：二分查找法(折半查找法)

折半查找，也稱二分查找，在某些情況下相比於順序查找，使用折半查找算法的效率更高。但是該算法的使用的前提是靜態查找表中的數據必須是有序的。

例如，在 {5,21,13,19,37,75,56,64,88 ,80,92}這個查找表使用折半查找算法查找數據之前，需要首先對該表中的數據按照所查的關鍵字進行排序： {5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}。

在折半查找之前對查找表按照所查的關鍵字進行排序的意思是：若查找表中存儲的數據元素含有多個關鍵字時，使用哪種關鍵字做折半查找，就需要提前以該關鍵字對所有數據進行排序。

折半查找算法

對靜態查找表 {5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}采用折半查找算法查找關鍵字為 21 的過程為：

圖 1 折半查找的過程（a）

如上圖 1 所示，指針 low 和 high 分別指向查找表的第一個關鍵字和最后一個關鍵字，指針 mid 指向處於 low 和 high 指針中間位置的關鍵字。在查找的過程中每次都同 mid 指向的關鍵字進行比較，由於整個表中的數據是有序的，因此在比較之后就可以知道要查找的關鍵字的大致位置。

例如在查找關鍵字 21 時，首先同 56 作比較，由於 21 < 56，而且這個查找表是按照升序進行排序的，所以可以判定如果靜態查找表中有 21 這個關鍵字，就一定存在於 low 和 mid 指向的區域中間。

因此，再次遍歷時需要更新 high 指針和 mid 指針的位置，令 high 指針移動到 mid 指針的左側一個位置上，同時令 mid 重新指向 low 指針和 high 指針的中間位置。如圖 2 所示：

圖 2 折半查找的過程（b）
 

同樣，用 21 同 mid 指針指向的 19 作比較， 19 < 21，所以可以判定 21 如果存在，肯定處於 mid 和 high 指向的區域中。所以令 low 指向 mid 右側一個位置上，同時更新 mid 的位置。

圖 3 折半查找的過程（3）

當第三次做判斷時，發現 mid 就是關鍵字 21 ，查找結束。

注意：在做查找的過程中，如果 low 指針和 high 指針的中間位置在計算時位於兩個關鍵字中間，即求得 mid 的位置不是整數，需要統一做取整操作。

折半查找的實現代碼：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int

typedef struct 
{
    keyType key;　　// 查找表中每個數據元素的值
    // 如果需要，還可以添加其他屬性
}ElemType;

typedef struct
{
    ElemType *elem;　　// 存放查找表中數據元素的數組
    int length;　　　　 // 記錄查找表中數據的總數量
}SSTable;

// 創建查找表
void Create(SSTable **st, int length)
{
    (*st) = (SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
    (*st)->length = length;
    printf("輸入表中的數據元素：\n");
    // 根據查找表中數據元素的總長度，在存儲時，從數組下標為 1 的空間開始存儲數據
    for (int i=1; i<=length; i++) 
　　 {
        scanf("%d", &((*st)->elem[i].key));
    }
}

//折半查找算法
int Search_Bin(SSTable *ST, keyType key)
{
    int low = 1;　　//初始狀態 low 指針指向第一個關鍵字
    int high = ST->length;　　//high 指向最后一個關鍵字
    int mid;
    while (low <= high) 
　　{
        mid = (low+high) / 2;　　// int 本身為整形，所以，mid 每次為取整的整數
        if (ST->elem[mid].key == key)　　// 如果 mid 指向的同要查找的相等，返回 mid 所指向的位置
        {
            return mid;
        }
　　　　 else if(ST->elem[mid].key > key)　　// 如果mid指向的關鍵字較大，則更新 high 指針的位置
        {
            high = mid-1;
        }
        // 反之，則更新 low 指針的位置
        else
　　    {
            low = mid + 1;
       }
    }

    return 0;
}

int main(int argc, const char * argv[]) 
{
    SSTable *st;
    Create(&st, 11);
    getchar();
    printf("請輸入查找數據的關鍵字：\n");
    int key;
    scanf("%d", &key);
    int location = Search_Bin(st, key);
    //如果返回值為 0，則證明查找表中未查到 key 值，
    if (location == 0) 
　　 {
        printf("查找表中無該元素");
    }
　　 else
　　 {
        printf("數據在查找表中的位置為：%d", location);
    }
    return 0;
}

以圖 1 的查找表為例，運行結果為：
輸入表中的數據元素：
5 13 19 21 37 56 64 75 80 88 92
請輸入查找數據的關鍵字：
21
數據在查找表中的位置為：4

 

折半查找的性能分析

折半查找的運行過程可以用二叉樹來描述，這棵樹通常稱為“判定樹”。例如圖 1 中的靜態查找表中做折半查找的過程，對應的判定樹如圖 4：

圖 4 折半查找對應的判定樹

在判定樹中可以看到，如果想在查找表中查找 21 的位置，只需要進行 3 次比較，依次和 56、19、21 進行比較，而比較的次數恰好是該關鍵字所在判定樹中的層次（關鍵字 21 在判定樹中的第 3 層）。

對於具有 n 個結點（查找表中含有 n 個關鍵字）的判定樹，它的層次數至多為： log2n + 1（如果結果不是整數，則做取整操作，例如：  log211 +1 = 3 + 1 = 4 ）。

同時，在查找表中各個關鍵字被查找概率相同的情況下，折半查找的平均查找長度為： ASL = log2(n+1) – 1。

總結

通過比較折半查找的平均查找長度，同前面介紹的順序查找相對比，明顯折半查找的效率要高。但是折半查找算法只適用於有序表，同時僅限於查找表用順序存儲結構表示。

當查找表使用鏈式存儲結構表示時，折半查找算法無法有效地進行比較操作（排序和查找操作的實現都異常繁瑣）。