二分查找（折半查找）

一、什么是二分查找

二分查找也稱折半查找（Binary Search），它是一種效率較高的查找方法。但是，折半查找要求線性表必須采用順序存儲結構，而且表中元素按關鍵字有序排列

 

二、算法復雜度

 

二分查找的基本思想是將n個元素分成大致相等的兩部分，取a[n/2]與x做比較，如果x=a[n/2],則找到x,算法中止；如果x<a[n/2],則只要在數組a的左半部分繼續搜索x,如果x>a[n/2],則只要在數組a的右半部搜索x.

 

時間復雜度即是while循環的次數。

 

總共有n個元素，

 

漸漸跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k（接下來操作元素的剩余個數），其中k就是循環的次數

 

由於你n/2^k取整后>=1

 

即令n/2^k=1

 

可得k=log2n,（是以2為底，n的對數）

 

所以時間復雜度可以表示O(h)=O(log2n)

三、如何理解二分查找

給定范圍0到1000的整數：

第一次我們選擇500，發現偏大了，

那么下一次的選擇范圍，就變成了1到499：

第二次我們選擇250，發現還是偏大了，

那么下一次的選擇范圍，就變成了1到249：

第三次我們選擇125，發現偏小了，

那么下一次的選擇范圍，就變成了126到249：

以此類推，最壞的情況需要猜測多少次呢？

答案是 log1000 = 10次，

也就是讓原本的區間范圍進行10次 “折半”。

四、代碼實現

1.非遞歸方式

import java.util.Arrays;

public class test07 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{15,66,48,9,54,11,87,100,40,8,9,7,12,13};
        int key = 11;  //要查找的數
        Arrays.sort(arr);  //二分查找，之前一定要對數組進行元素排序
        System.out.println(Arrays.toString(arr));   //打印數組
        System.out.println(key+"元素的索引"+binarySearch(arr,key));
    }
    public static int binarySearch(int[] array,int key){
        //頭指針初始位置
        int low = 0;
        //尾指針初始位置
        int high = array.length - 1;
        //判斷查找的數是否在數組中，如果此處不加判斷，則可能報java.lang.StackOverflowError棧內存溢出
        if(low>high||key>array[high]||key<array[low]){
            return -1;
        }
        while(low<=high){
            //計算中間值的索引，防止溢出
            int mid = low+ (high - low)/2;
            if(key==array[mid]){
                return mid;    //返回查詢到的索引位置
            }else if (key>array[mid]){
                low = mid+1; //mid所對應的的值比key小，key應該在右邊
            }else {
                high = mid-1;  //mid所對應的的值比key大，key應該在左邊
            }
        }
        //若沒有，則返回-1
        return -1;
    }
}

2.非遞歸方式

import java.lang.annotation.ElementType;
import java.util.Arrays;

public class test07 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{15,66,48,9,54,11,87,100,40,8,9,7,12,13};
        int key = 11;  //要查找的數
        //頭指針初始位置
        int low = 0;
        //尾指針初始位置
        int high = arr.length - 1;
        Arrays.sort(arr);  //二分查找，之前一定要對數組進行元素排序
        System.out.println(Arrays.toString(arr));   //打印數組
        System.out.println(key+"元素的索引"+binarySearch(arr,low,high,key));
    }
    public static int binarySearch(int[] array,int low,int high,int key){
        //判斷查找的數是否在數組中，如果此處不加判斷，則可能報java.lang.StackOverflowError棧內存溢出
        if(low>high||key>array[high]||key<array[low]){
            return -1;
        }
        //計算中間值的索引，防止溢出
        int mid = low+ (high - low)/2;
        if (key>array[mid]){
            return binarySearch(array,mid+1,high,key);     //mid所對應的的值比key小，key應該在右邊
        }else if(key<array[mid]){
            return binarySearch(array,low,mid-1,key); //mid所對應的的值比key大，key應該在左邊
        }else{
            return mid;
        }
    }
}

二分查找中值(mid)計算 二分查找中值計算有三種方式：

• int mid = (low + high)/ 2;
• int mid = low + (high - low) / 2;
• int mid = (high + low) >>> 1
• 上述兩種算法看似第一種要簡潔，第二種提取之后，跟第一種沒有什么區別。但是實際上上述兩種計算是有區別的，
• 第一種的做法是在極端情況下計算的，(low + high)存在着溢出的風險，進而有可能得到錯誤的mid結果，導致程序錯誤；
• 而第二種算法能夠保證計算出來的mid值一定大於low、小於high，不存在溢出的問題。
• 針對第一種算法為了防止溢出問題，可以使用：int mid = (high + low) >>> 1; 解決此問題。

五、二分查找的優缺點：

優點：比較次數少，查找速度快，平均性能好。

缺點：必須有序，必須是數組。