二維平面上的變換
二維縮放
一個坐標左乘一個縮放矩陣，得到縮放變換后的坐標
切變
二維旋轉
默認為繞原點，逆時針旋轉
旋轉矩陣還是一個正交矩陣，正交矩陣滿足的性質是：矩陣的轉置=矩陣的逆
所以旋轉-θ角度，將旋轉矩陣轉置即可
縮放、切邊、旋轉均是線性變換，變換只包括數乘和加法
線性變換一定可以用上述形式表示
如何寫出變換的方程：
找到變換后的坐標和原始坐標的關系，並用矩陣乘積的形式來表達
二維平移
平移變換不能簡單地通過用線性變換（左乘一個2x2的矩陣）來表示
所以平移變換不是線性變換
二維齊次坐標系
齊次坐標系就是用來解決平移變換的特殊性，用統一的形式表達所有的變換
齊次坐標系的特點：
給二維的點和向量加上一個維度，用三個元素來表示
齊次坐標系可以保證以下事實
還有“向量平移后還是原來的向量”
給三維的向量（x,y,w)，（w!=0）擴充定義，可以對其進行數乘，使得第三維為1，此時是一個標准形式的齊次坐標系表示
對任意一個w!=0的三維向量進行數乘不會改變它代表的點
這樣任意一個三維向量都可以用來表示一個點或者一個向量
而且任意一個二維點可以有無數種表示
而且利用這個擴充的定義很容易可以推出
point + point 的含義就是兩個點的中點
二維仿射變換
仿射變化用二維向量表示是如下形式
用齊次坐標系可以表示出一個仿射變換的矩陣
仿射變換的3x3矩陣中
左上角2x2的矩陣是二維向量中線性變換的矩陣，(1,3)是x方向上的位移量，(2,3)是y方向上的位移量，第三行在仿射變換中默認為(0,0,1)，保證了點在仿射變換后還是點，向量還是向量
一個仿射變換的矩陣，表示的是先進行左上角2x2矩陣的線性變換，再進行平移變換，注意這個順序是確定的
逆變換
一個點或向量變換后，將這個變換矩陣求逆后左乘到當前的點或向量上，即可恢復原來的情況，也就是逆變換
變換的組合
一個變換的組合中變換的順序應該是確定的，變換了順序得到的變換結果是不一樣的
我們用矩陣的乘法來表示變換的組合
矩陣的乘法也是不滿足交換律的，和變換的組合一致
變換矩陣應該放在作用對象的左邊，即進行矩陣的左乘，而且從最靠近對象的變換矩陣開始運算
如上組合變換就是先旋轉，再平移
矩陣的乘法滿足結合律，可以把所有變換矩陣都乘起來，成為一個復雜的變換矩陣，而且這個復雜的變換矩陣始終和作用對象保持一致的大小。這說明無論變換多復雜，大小都不會發生變化
變換的分解
一個復雜的變換可以分解為一系列變換步驟，和變換的組合是相反的關系
一個非繞原點的旋轉就可以分解為 平移 + 繞原點旋轉 + 平移
三維空間中的變換
三維齊次坐標系
三維空間中的齊次坐標系和平面上的齊次坐標系概念一致，也是加多了一個維度
此時用四個元素來表示三維向量和點
同理任意(x,y,z,w)（w != 0)都可以通過數乘，使得w = 1，轉換為一個標准的三維點的表示方式，所以任意一個四維向量都可以用來表示一個三維的點或向量
任意一個三維點可以有無數種表示
三維仿射變換
左上角3x3表示的是線性變換
(1,4),(2,4),(3,4)表示的是三個坐標軸上的位移量
縮放
三維平移
三維旋轉
使用軸角表示旋轉
軸角也就是繞單軸旋轉
用(x,y,z,w)來表示
x,y,z用來表示軸的方向，是一個向量，w是標量，表示旋轉的角度
通過軸角可以完成所有的從一個方向變換到另一個方向的旋轉
和兩點之間直線最短一樣，兩個方向之間，繞單軸旋轉路徑最短
但這種旋轉方式適用情況不多
使用歐拉角表示旋轉
歐拉角是三個一組的角參量
由章動角θ、旋進角ψ和自轉角φ組成
分別對應繞三個坐標軸旋轉的角度
我們往往把單純繞y軸的旋轉叫做yaw
單純繞x軸旋轉叫做pitch
單純繞z軸旋轉叫做roll
我們采用的是右手笛卡爾坐標系
三維空間中繞原點的任意旋轉一定可以分解為三個繞軸旋轉的組合，由下方羅德里格斯旋轉公式證明
羅德斯格斯旋轉公式也提供了繞過原點的任意軸旋轉的計算方法
分別單獨繞x,y,z軸旋轉的矩陣如下
我們將三個矩陣組合起來，就得到了任意繞原點旋轉的公式
若三維空間中非繞原點旋轉，和二維空間一樣，可以分解為平移+旋轉+平移
歐拉角存在的問題
坐標系
實際中，物體旋轉應該按照物體自身的坐標系來旋轉，而不是絕對的坐標系，也就是說歐拉角應該用來標記物體自身坐標系下的旋轉量
但每一次旋轉都造成了物體自身坐標系與絕對坐標系的偏移，並不方便觀察，而且旋轉的組合是不能交換順序的，先發生的旋轉會在坐標系上對后發生的旋轉造成影響
萬向節死鎖
萬向節
用歐拉角旋轉，會造成萬向節死鎖的情況（具體原因不理解）
當出現死鎖，會喪失一維甚至兩維自由度，也就是只能在二維平面甚至是一維直線上旋轉了
使用四元數表示旋轉
四元數可以避免使用歐拉角出現的問題
四元數的定義
一個四元數q，形如(a,b,c,d)
q = a + bi + cj + dk
一個標量作為實部，虛部有三個部分
可以和四維空間上的點一一對應
a是在過原點且垂直於三維空間的一條實軸上的位移
i,j,k滿足
擴展一下加法的定義
四元數可以用標量加上向量的形式表示
四元數乘法公式
用四元數表示三維空間中的旋轉
q = a + v(向量)，a=0時，q代表一個純四元數，也就是純三維空間上的一個向量
三維空間中的旋轉就是一個純四元數繞着另一個純四元數旋轉
v繞着u旋轉得到v'
旋轉的公式如下
觀測變換
我們對圖形進行變換的目的：將三維的物體轉換為二維的一張圖片
我們模擬得到一張照片的步驟
- 將觀測物體進行模型變換
- 將相機進行視圖變換
- 投影變換
簡稱為model-view-projection MVP變換
我們用觀測變換來描述第2和第3步，包括了視圖變換和投影變換
視圖變換
相機的幾個屬性
我們的相機需要滿足一個事實
當相機和觀測物體不發生相對運動時，拍出來的照片應該永遠是一樣的
我們可以假設，相機永遠放在原點
朝向-Z軸，up-direction是Y （約定俗成）
則將任意一個位置的相機，擺放到我們要求的位置，需要
先進行平移，平移矩陣如下
g作為一個不特定的方向，很難用矩陣表示g旋轉到-Z方向，但將-Z方向旋轉到任意方向的矩陣都好寫（t同理）
所以我們就寫出從標准位置旋轉到相機原位置的矩陣
可以觀察到
這個矩陣右乘X方向，得到了gxt
右乘Y方向，得到t
右乘Z方向，得到-g
和我們需要的變換恰好相反
再將矩陣求逆就是我們需要的旋轉矩陣
因為旋轉矩陣是正交矩陣，轉置即可得到逆矩陣
視圖變換由下式表達
先進行平移，再進行旋轉
不僅是相機做視圖變換，應該是相機和所有觀測物體組成的整體進行視圖變換，以保持相對位置一定，且相機位於標准位置
投影變換
投影變換分為正交投影和透視投影
透視投影下，兩條平行線會在遠處相交，可以產生近大遠小的效果，符合人眼的成像規律，正交投影下平行線不會相交，符合工程實際
將相機假設為一個點，通過這個點無限延伸出空間中的一個錐
我們規定這個錐上的一個far clip plane遠平面和一個near clip plane近平面，兩個平面中間的圖形叫做frustum
在照相時，我們希望frustum中的物體會被顯示到近平面上
frustum內部的物體通過視圖變換就會變小（注意相機的的透視投影成像是將實際物體變小）
在正交投影下，我們可以理解為相機無限遠，不存在變大或者變小，把深度信息忽略
正交投影
正交投影的一種理解
將相機放在標准位置
將z軸丟掉，所有三維物體將會被投影到xy平面上
我們將印有所有物體投影的xy平面縮放成以原點為中心的2x2的矩形，代表着相機成像
正交投影的通用理解
一個立方體有如下屬性
\(l,r\) 代表左右，是x軸上的坐標
\(b, t\)代表下上，是y軸上的坐標
\(f, n\)代表遠近，是z軸上的坐標
需要注意的是，\(z\)越小，離我們越遠，反之離我們越近
正交投影可以分為兩個步驟
- 將立方體中心平移到原點
- 將立方體縮放成2x2x2的正方體
則正交投影的矩陣如下
透視投影
在圖形學中更常見地是使用投影變換
投影變換中，我們對圖中的frustum先進行一個“擠壓”的變換
使得frustum變換為一個cuboid
再對cuboid進行正交投影，透視投影就完成了
對於一個frustum，我們將其壓縮成一個cuboid，可以列出以下兩個條件
除了特定點，我們並不知道z的變化情況（注意cuboid上，除了兩個平面上，其他點的z都會發生一定的變化）
用矩陣形式來表示這個線性變換
根據這兩個條件可以寫出變換的矩陣的一部分
此時要寫出第三行，我們還需要一些信息
注意到，在近平面，所有點都沒有發生變化，
而在遠平面，中心點沒有發生變化
通過上述兩個條件，就可以解出“壓縮”矩陣
而整個投影變換的矩陣就是正交矩陣左乘“壓縮”矩陣
