《信號與系統》（一）

信號與系統

https://www.icourse163.org/course/XDU-483006

西安電子科技大學

一、信號與系統概述

信號的基本概念和分類

1.信號的分類：確定與隨機，連續與離散

確定信號：可用確定時間函數表示的信號

隨機信號：信號不能用確切的函數描述，只可能知道它的統計特性比如概率

連續時間信號：連續時間范圍有定義的信號

離散時間信號：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號

2.信號的分類：周期與非周期

周期信號：每隔一定時間T或整數N，按相同規律重復變化的信號

3.信號的分類：能量與功率信號，因果與反因果

\(E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t\)，\(P \stackrel{\text { def }}{=} \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t\)

能量有限信號：信號的能量\(E<\infin , P=0\)

功率有限信號：信號的功率\(P<\infin,E=\infin\)

因果信號：\(t<0,f(t)=0\)的信號【即\(t=0\)時接入系統的信號,比如階躍信號】

反因果信號：\(Y>=0,f(t)=0\)的信號

基本信號

1.階躍函數

\(\varepsilon(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n}(t)= \begin{cases}0, & t<0 \\ 1, & t>0\end{cases}\)

積分\(\int^f_{-\infin}\varepsilon(\tau)d\tau = t\varepsilon(t)\)

2.沖激函數

單位沖激函數：是奇異函數，它是對強度極大，作用時間極短的物理量的理想化模型

\(\left\{\begin{array}{l}\delta(t)=0, \quad t \neq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1\end{array}\right.\)

沖激函數與階躍函數的關系：\(\delta(t)=\frac{\mathrm{d} \varepsilon(t)}{\mathrm{d} t} \quad \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) \mathrm{d} \tau\)

3.沖激函數的取樣性質 ：

\(f(t) \delta(t-a)=f(a) \delta(t-a)\)
\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-a) \mathrm{d} t=f(a)\)

4.沖激函數的導數

沖激偶\(\delta^{\prime}(t)\)的定義：\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{\prime}(t) \mathrm{d} t=-f^{\prime}(0)\)

\(\delta^{n}(t)\) ：\(\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) \mathrm{d} t=(-1)^{n} f^{(n)}(0)\)

5.沖激函數的尺度變化

\(\delta(at)\)的定義 \(\delta^{n}(a t)=\frac{1}{|a|} \frac{1}{a^{n}} \delta^{n}(t)\)

推廣結論：

(1) \(\delta\left(a t-t_{0}\right)=\delta\left[a\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right)\right]=\frac{1}{|a|} \delta\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right)\)
(2) 當 \(a=-1\) 時 \(\quad \delta^{(n)}(-t)=(-1)^{n} \delta^{(n)}(t)\)
\(\delta(-t)=\delta(t)\) 為偶函數
\(\delta^{\prime}(-t)=-\delta^{\prime}(t)\) 為奇函數

信號的運算

1.單位脈沖序列與單位階躍序列

單位脈沖序列 \(\delta(k)\)

\[\delta(k)= \begin{cases}1 & k=0 \\ 0, & k \neq 0\end{cases} \]

單位階躍序列 \(\varepsilon(k)\)

\[\varepsilon(k)= \begin{cases} 1, & k \geq 0 \\ 0, & k<0\end{cases} \]

關系：\(\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\)
\(\varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i)\)
或 \(\varepsilon(k)=\sum_{j=0}^{\infty} \delta(k-j)=\delta(k)+\delta(k-1)+\ldots\)

2.信號的加減乘運算：同一時刻兩信號之值對應加減乘

3.信號的反轉：\(f(t)\to f(-t)\) 稱為對信號的反轉或反折。從圖形上看試講信號以縱坐標為軸反轉180°。

4.信號的平移：\(f(t)\to f(t-t_0)\)，若\(t_0>0\) 信號右移，否則左移

5.信號的尺度變化：\(f(t)\to f(at)\)，若\(a>1\)，則波形沿橫坐標壓縮，若\(0<a<1\)，則展開

系統的概念及分類

1.系統定義與經典系統舉例

2.系統分類：線性系統與非線性系統

線性系統是指滿足線性性質的系統

其次性：\(af_{1} \longrightarrow a y_{1}\)

可加性：\(f_{2} \longrightarrow y_{2}\)，\(f_{1}+f_{2} \longrightarrow y_{1}+y_{2}\)

線性性： \(a f_{1}+b f_{2} \longrightarrow a y_{1}+b y_{2}\)

\[\mathrm{T}\left[a f_{1}(\cdot)+b f_{2}(\cdot)\right]=a \mathrm{~T}\left[f_{1}(\cdot)\right]+b \mathrm{~T}\left[f_{2}(\cdot)\right] \]

3.時變系統與時不變系統

時不變系統：系統輸入延遲多少時間，其零狀態響應也響應延遲多少時間。

\(f(t-t_d)\to y_{zs}(t-t_d)\)

主要討論線性時不變系統：LTI系統

4.因果與非因果系統

因果系統指零狀態響應不會出現在激勵之前的系統

二、連續系統的時域分析

LTI連續系統的描述

1.連續系統的描述：電路圖建立微分方程

2.微分方程的模擬框圖

基本部件：\(y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t) = f(t)\)

基本運算：數乘、微分、相加

基本部件：加法器、數乘器、積分器

3.微分方程的經典解法

4.連續系統的初始值

初始值是n階系統在t=0時接入激勵，其響應在\(t=0_+\)時刻的值，即\(y^{(j)}(0_+)(j=0,1,2,....,n-1)\)

初始狀態是指系統在激勵尚未接入的\(t=0_-\)時刻的響應值\(y^{(j)}(0_-)\)，該值反映了系統的歷史情況，而與激勵無關。

LTI連續系統的響應

1.零輸入響應，對應齊次微分方程，求齊次解

\(y_{zi}^{(j)}(0_+) = y_{zi}^{(j)}(0_-)=y^{(j)}(0_-)\)

2.零狀態響應

\(y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0,\ j=0,1,2,...,n-1\)

(1) 從\(y_{zs}^{(j)}(0_-) = 0\)求\(y_{zs}^{(j)}(0_+)\)，(2)\(y_{z s}^{(j)}\left(0_{+}\right)=y^{(j)}\left(0_{+}\right)-y_{z i}(j)\left(0_{+}\right)\)

3.響應分類

固有響應僅與系統本身的特性有關，而與激勵的函數形式無關——齊次解，函數形式與特征方程的根有關

強迫響應與激勵函數的形式有關——特解

暫態響應：指響應中暫時出現的分類，隨着時間的增長，會消失

穩態響應是穩定分量，若存在，通常表現為階躍函數和周期函數

4，沖激響應的定義和求法

沖激響應是由單位沖激函數\(\delta(t)\)所引起的零狀態響應，記為\(h(t)\)。

\(h(t)\)隱含的條件：\(f(t) = \delta(t) ,\ h(0) = h'(0) = 0\)（對二階系統）

5.階躍響應的定義和求法

階躍響應是由單位階躍函數\(\varepsilon(t)\)所引起的零狀態響應，記為\(g(t)\)。

\(g(t)\)隱含條件：\(f(t) = \varepsilon(t),\ g(0)=g'(0)=0\)

階躍響應與沖激響應的關系為：\(g(t)=\int_{-\infty}^{t} h(\tau) \mathrm{d} \tau, \quad h(t)=\frac{\mathrm{d} g(t)}{\mathrm{d} t}\)

卷積積分的定義和性質

1.信號的時域分解：\(\lim _{\Delta \rightarrow 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau\)

2.卷積公式：已知定義在區間\((-\infin,\infin)\)上的兩個函數\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)，則定義積分

\[f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \]

為\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)的卷積積分，簡稱卷積，記為\(f(t) = f_1(t)*f_2(t)\)

零狀態響應：\(y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) \mathrm{d} \tau=f(t) * h(t)\)

3.卷積積分的代數性質：

滿足交換律，分配率和結合律

4.奇異函數的卷積特性

1. \(f(t) * \delta(t)=\delta(t) * f(t)=f(t)\)
   \(f(t)^{*} \delta\left(t-t_{0}\right)=f\left(t-t_{0}\right)\)
2. \(f(t)^{*} \delta^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)\)
   \(f(t)^{*} \delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)\)
3. \(\begin{aligned} f(t) & * \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \varepsilon(t-\tau) \mathrm{d} \tau=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) \mathrm{d} \tau \\ & \varepsilon(t)^{*} \varepsilon(t)=t \varepsilon(t) \end{aligned}\)

5.卷積的微積分性質

1. \(\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} t^{n}}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right]=\frac{\mathrm{d}^{n} f_{1}(t)}{\mathrm{d} t^{n}} * f_{2}(t)=f_{1}(t) * \frac{\mathrm{d}^{n} f_{2}(t)}{\mathrm{d} t^{n}}\)
2. \(\int_{-\infty}^{t}\left[f_{1}(\tau) * f_{2}(\tau)\right] \mathrm{d} \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} f_{1}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]^{*} f_{2}(t)=f_{1}(t) *\left[\int_{-\infty}^{t} f_{2}(\tau) \mathrm{d} \tau\right]\)
3. 在 \(f_{1}(-\infty)=0\) 或 \(f_{2}{ }^{(-1)}(\infty)=0\) 的前提下,\(f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=f_{1}^{\prime}(t)^{*} f_{2}^{(-1)}(t)\)

卷積積分的應用

1.卷積的時移特性

若 \(f(t)=f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\),
則 \(f_{1}\left(t-t_{1}\right) * f_{2}\left(t-t_{2}\right)=f_{1}\left(t-t_{1}-t_{2}\right) * f_{2}(t)\)\(=f_{1}(t)^{*} f_{2}\left(t-t_{1}-t_{2}\right)=f\left(t-t_{1}-t_{2}\right)\)

2.用梳狀函數卷積產生周期信號

周期為T的周期單位沖激函數序列，稱為梳狀函數

\(f(t) * \delta_{T}(t)=f(t) * \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} f(t-m T)\)

卷積結果：依然是周期信號，周期為T。\(T<\tau\)時，各相鄰脈沖之間將會出現重疊，將無法使波形\(f(t)\)在\(f_T(t)\)的每個周期中重現。

3.矩陣脈沖的卷積產生三角形和梯形脈沖

兩個不同寬的門函數卷積時，其結果為梯形函數，梯形函數的高度為窄門（面積），其上底為兩個門函數寬度之差，下底為兩個門函數寬度之和。

4.互相關和自相關函數的定義

比較某信號與另一延時\(\tau\)的信號之間的相似度，需要引入相關函數

互相關函數：

\(R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) f_{2}(t-\tau) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t+\tau) f_{2}(t) d t\)
\(R_{21}(\tau)=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t-\tau) f_{2}(t) d t=\int^{\infty}_{-\infty} f_{1}(t) f_{2}(t+\tau) d t\)

三、離散系統的時域分析

差分方程的建立及經典解法

1.建立差分方程

移位序列：設有序列\(f(k)\)，則\(...,f(k+2),f(k+1),f(k-1),f(k-2)\)

后向差分（差分）：\(\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)\)

m階差分：\(\nabla^{\mathrm{m}} f(k)=f(k)+b_{1} f(k-1)+\ldots+b_{\mathrm{m}} f(k-m)\)

差分方程：由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程

LTI離散系統是線性常系數差分方程

2.差分方程模擬框圖

3.差分方程的經典解法

①遞推迭代：差分方程本質上是遞推的代數方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求其數值解。

②經典法：\(y(k)+a_{\mathrm{n}-1} y(k-1)+\ldots+a_{0} y(k-n)=b_{\mathrm{m}} f(k)+\ldots+b_{0} f(k-m)\)

解\(y(k) =y_h(k)+y_p(k)\)，齊次解和特解

4.零輸入響應的定義和求解

零輸入響應：離散系統的激勵為0，僅由系統的初始狀態引起的響應，用\(y_{zi}(k)\)表示。

\(y_{z i}(k)+a_{n-1} y_{z i}(k-1)+\cdots+a_{0} y_{z i}(k-n)=0\)

初始值確定：\(y_{z i}(-l)=y(-l), l=0,1,2, \ldots, n-1\)

求解步驟：(1)求解特征方程(2)設定齊次解(3)直接帶入初始狀態，求待定系數

5.零狀態響應的定義和求解

零狀態響應：系統的初始狀態\(y_{zs}(-l)=o,l=1,2,3,...n\)為0，僅由激勵\(f(k)\)引起的響應。

初始值確定：有迭代法求出初始值

基本信號

1.單位脈沖序列

\(\delta\left(k-k_{0}\right)= \begin{cases}1 & k=k_{0} \\ 0 & k \neq k_{0}\end{cases}\)

性質：

\(f(k) \delta(k)=f(0) \delta(k)\)

\(f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right) \delta\left(k-k_{0}\right)\)

\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(k)=1\)

\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k)=f(0)\)

\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right)\)

2.單位階躍序列

\(\varepsilon(k)= \begin{cases}0, & k<0 \\ 1, & k \geq 0\end{cases}\)

關系：

\(\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\)

\(\varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i)\)

連續信號與離散信號的類比

基本響應與卷積和定義

1.單位脈沖響應的定義和求解

單位脈沖序列\(\delta(k)\)所引起的零狀態響應，用\(h(k)\)表示。

隱含條件\(f(k)=\delta(k),\ \ h(-1)=h(-2)=0\)對於二階系統

單位脈沖響應與系統的零輸入響應的函數形式相同，求解齊次方程

2.單位階躍響應的定義和求解

單位階躍序列\(\varepsilon(k)\)所引起的零狀態響應，用\(g(k)\)表示。

隱含條件\(f(k)=\varepsilon(k),\ \ g(-1)=g(-2)=0\)

求齊次解和特解

3.單位階躍響應與單位脈沖響應的關系

\(g(k) = \sum^k_{i=-\infin}h(i)\)

\(h(k) = \nabla g(k)=g(k)-g(k-1)\)

4.序列的時域分解

\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i)\)

5.卷積和公式

\(y_{zs}(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i)\)

\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i)\)

如果\(f_1(k)\)是因果序列，即有\(f_1(k)=0,k<0\) 則\(f(k)=\sum_{i=0}^{\infty} f_1(i) f_2(k-i)\)

如果\(f_2(k)\)是因果序列，即有\(f_2(k)=0,k<0\) 則\(f(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} f_1(i) f_2(k-i)\)

如果\(f_1(k)f_2(2)\)都是因果序列，即有\(f_1(k)=f_2(k)=0,k<0\) 則\(f(k)=[\sum_{i=0}^{k} f_1(i) f_2(k-i)]\varepsilon(k)\)

卷積計算和與離散系統的差分算子描述

1.卷積和的性質

滿足交換律、分配律和結合律

常用卷積公式

(1) \(f(k) * \delta(k)=f(k)\);

(2) \(f(k) * \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k-k_{0}\right)\);

(3)\(\delta(k) * \delta(k)=\delta(k)\)

(4) \(f(k) * \varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} f(i)\);

(5) \(f_{1}\left(k-k_{1}\right) * f_{2}\left(k-k_{2}\right)=f_{1}\left(k-k_{2}\right) * f_{2}\left(k-k_{1}\right)\) \(=f_{1}(k) * f_{2}\left(k-k_{1}-k_{2}\right)=f_{1}\left(k-k_{1}-k_{2}\right) * f_{2}(k)\)

2.差分算子E的定義

\(E^{-1}\)——延遲算子，\(E\)——超前算子

\(\begin{array}{ll}E^{-1} f(k)=f(k-1), & E f(k)=f(k+1) \\ E^{-2} f(k)=f(k-2), & E^{2} f(k)=f(k+2) \\ E^{-n} f(k)=f(k-n), & E^{n} f(k)=f(k+n)\end{array}\)

3.離散系統的差分算子方程

差分方程：

\(\begin{aligned} & y(k)+a_{n-1} y(k-1)+\cdots+a_{0} y(k-n) \\=& b_{m} f(k)+b_{m-1} f(k-1)+\cdots+b_{0} f(k-m) \end{aligned}\)

算子方程：

\(\begin{aligned} & y(k)+a_{n-1} E^{-1} y(k)+a_{n-2} E^{-2} y(k)+\cdots+a_{0} E^{-n} y(k) \\=& b_{m} f(k)+b_{m-1} E^{-1} f(k)+b_{m-2} E^{-2} f(k)+\cdots+b_{0} E^{-m} f(k) \end{aligned}\)

4.傳輸算子

系統傳輸算子\(H(E)\)

\(H(E)=\frac{y(k)}{f(k)}=\frac{b_{m}+b_{m-1} E^{-1}+b_{m-2} E^{-2}+\cdots+b_{0} E^{-m}}{1+a_{n-1} E^{-1}+a_{n-2} E^{-2}+\cdots+a_{0} E^{-n}}\)