信號與系統——卷積的性質

本文轉載自查看原文 2021-04-13 13:34 444

對於信號與系統這門課來說，其卷積是這門課中非常重要的一個知識點。下面就來說一說卷積的性質。

交換律

，進而可以推出：

$f_{1}(t) *f_{2}(t) = \int_{-\infty }^{\infty}f_{1}(\tau )f_{2}(t-\tau )d\tau = \int_{-\infty }^{\infty}f_{2}(\lambda )f_{1}(t-\lambda ) = f_{2}(t) * f_{1}(t)$

分配律

結合律

微分與積分

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}[f_{1})(t) *f_{2})(t) ] = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int_{-\infty }^{\infty}f_{1}(\tau )f_{2}(t-\tau )d\tau = \int_{-\infty }^{\infty}f_{1}(\tau )\frac{\mathrm{d}f_{2}(t-\tau ) }{\mathrm{d} t}d\tau = f_{1}(t ) * \frac{\mathrm{d} f_{2}(t )}{\mathrm{d} t}$

所以可以得到： $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f_{2}(t) *f_{1}(t)] = f_{2}(t) * \frac{\mathrm{d} f_{1}(t)}{\mathrm{d} x}$ ，

所以可證得交換律。

一些重要的卷積公式

$f(t) * \sigma (t) = \int_{-\infty }^{\infty}f(\tau )\sigma(t-\tau )d\tau = \int_{-\infty }^{\infty}f(\tau )\sigma(\tau -t) d\tau =f(t)$

因為 $\sigma(x) = \sigma(-x)$ ，所以 $\sigma (t-\tau ) = \sigma (\tau -t)$

$f(t) * \sigma (t-t_{0}) = \int_{-\infty }^{\infty}f(\tau )\sigma(t-t_{0}-\tau )d\tau =f(t-t_{0})$

$f(t) * {\sigma}'(t) = {f}'(t)$

依據 $f(t) * u(t) = \int_{-\infty }^{t}f(\lambda )d\lambda$ ,可推出 $f(t) * \sigma ^{(k)}(t) = f^{(k)}(t)$ 與 $f(t) * \sigma ^{(k)}(t-t_{0}) = f^{(k)}(t-t_{0})$

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