從數學上講，卷積就是一種運算。定義函數 $f,g$ 的卷積 $(f * g)(t)$ 如下
1. 連續形式：
$$(f*g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t - \tau)d\tau$$
那這個怎么理解呢？
函數 $g(t)$ 可以理解為沖擊響應，即一個沖擊信號經過一個線性系統后產生的輸出函數，假設它的圖像長成下面這個樣子：
在 $0$ 時刻輸入了一個沖擊信號，這個作用是瞬時的，但是它產生的影響不是瞬時的，而是一個持續性的后果，從上圖可以觀察到，$0$
時刻接收到沖擊信號后立馬產生了一個 $w_{0}$ 的影響，然后這個影響不斷衰退，直到 $0$，舉個例子：某個時刻打了你一巴掌，一開始很疼，
然后痛感逐漸減弱，$g(t)$ 就是痛感隨時間變化的函數。
假設現在打了你無數個巴掌，那怎么計算出某個時刻你的痛感呢？先考慮一個簡單的情形，每次打巴掌的時間間隔大於 $T$，如下圖
這種情況下，因為沒有重疊，所以只要知道打巴掌的時間和效果函數 $g(t)$，就很容易可以得到疼痛感，但假如沒等到 $T$ 就連續打了多個巴掌呢？
在時刻 $0$，$t_{1}$，$t_{2}$ 分別輸入了三個沖擊信號，即打了三巴掌，現在計算時刻 $a$ 的痛感。很明顯越早打巴掌，到時刻 $a$ 時痛感越弱。
根據線性系統的性質可知，痛感具有疊加性，於是時刻 $a$ 的痛感為
$$g_(a - 0) + g_(a - t_{1}) + g_(a - t_{2})$$
回到卷積公式，$g(t - \tau)$ 就表示在 $\tau$ 時刻打了一巴掌，這一巴掌在 $t$ 時刻時的痛感(有衰減)。
現在更進一步，在 $-\infty-+\infty$ 區間的任一時刻，我都可能打你一巴掌，相同的時刻可能連打好幾巴掌，那么怎么計算時刻 $t$ 的痛感？
將函數 $f(t)$ 理解為沖擊信號輸入的速度，即打巴掌的速度，那怎么求某個時刻 $\tau$ 打了多少巴掌？這里可以用極限逼近的思想。
設 $\tau - \varepsilon < \tau < \tau + \varepsilon$，當 $\varepsilon \rightarrow 0$ 時，就認為是勻速打巴掌，那么時刻 $\tau$ 打的巴掌數為
$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}f(\tau) \cdot 2\varepsilon$$
因為痛感可以疊加，所以每個時刻在 $t$ 產生的痛感為
$$\sum \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}f(\tau) \cdot 2\varepsilon \cdot g(t - \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$
2. 離散形式：
$$(f*g)(t) = \sum_{\tau = -\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t - \tau)$$
類比於連續的情況，區別是這里的 $f(\tau)$ 直接理解為沖擊信號在時刻 $\tau$ 輸入的次數(在時刻 $\tau$ 打的巴掌數)，而不是沖擊信號輸入的速度。
綜上：系統的輸出不僅與系統在 $t$ 時刻的響應有關，還與它在 $t$ 時刻之前的響應有關，不過系統有個衰減過程，$\tau < t$ 時刻的輸入在 $t$ 時刻
對輸出的影響可以表示為 $f(\tau)g(t-\tau)$，這個過程可能是離散的，也可能是連續的，所以 $t$ 時刻的輸出應該為 $t$ 時刻之前系統響應函數
在 $t$ 時刻響應的疊加，這便是卷積。