1. 系統函數的性質
1.1 變換的對偶性
不管是傅里葉變換的頻域還是拉普拉斯變換的\(s\)域（下面統稱\(s\)域），都是深入討論LIT系統的有力工具，有時甚至是必備工具。\(s\)域的系統函數和時域的信號（單位沖激響應）是一對共生體，它們通過拉普拉斯變換生成彼此，同時也是連接兩個域的紐帶。對一個函數解析式，經常要對它做一些常規的分析操作，比如運算、平移、縮放、微積分、卷積等。一個很自然的問題是，在某個域的分析操作會對另一個域帶來什么影響呢？本篇就來討論這個問題。
在正式討論之前，有必要再回顧一下拉普拉斯變換的公式。你可能一開始就注意到，正反變換存在一定的“對稱性”，而僅在局部有微小差別。在數學上，兩個概念如果通過類似的方法互相定義，它們就稱為對偶的，從形式上不難看出，互為對偶的概念的性質也是對偶存在的，這就省去了相似論證的麻煩。信號\(x(t)\)和拉普拉斯變換\(H(s)\)之間不具有嚴格的對偶性，但這樣的相似性仍然可以被使用。如果記\(\chi(\omega)=\dfrac{e^{\sigma}}{\sqrt{2\pi}}X(\sigma+j\omega)\)，將得到更為對稱的式（1），把這個關系記作變換\(T\)，顯然有式（2）成立。以后變換的性質如果本身不是對稱的，可以運用該式迅速得到另一個對稱的性質，當然簡單的性質直接證明會更快。
\[x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;\chi(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{1}\]
\[x(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,\chi(\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;\chi(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,x(-\omega)\tag{2}\]
1.2 拉普拉斯變換的性質
以下按函數運算的復雜程度，羅列LT的基本性質，過於直白的結論不加證明。需要注意的是，性質成立有它自己的ROC，並不完全受限於原LT的ROC。還有我們知道，ROC和積分在具體的\(s\)上的收斂性是不同的，以下性質在ROC外的收斂點仍然可以是成立的。
首先是函數的線性運算，在\(s\)域也是線性的（式（3））。然后看函數的平移，容易有式（4）左成立，在\(s\)域的平移還有式（4）右成立，這是一組對偶性質。當對函數進行伸縮時，頻譜系數也跟着反比例伸縮（式（5）左）；特別地，\(a=-1\)時表示函數左右翻轉（旋轉180度），\(s\)域則也跟着旋轉180度（式（5）右）。需要說明的是，LT是定義在實變量的復函數上的，故\(x(t)\)也可以是復值函數。對LT右式兩邊取共軛（用\(x^*\)表示），再將\(s\)換成\(s^*\)，即得到\(x^*(t)\)的FT（式（6）左）；對於實信號有\(x^*(t)=x(t)\)，從而有式（6）右的頻譜關系。
\[ax(t)+by(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;aX(s)+bY(s)\tag{3}\]
\[x(t-t_0)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;e^{-st_0}X(s);\;\;\;e^{s_0t}x(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s-s_0)\tag{4}\]
\[x(at)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{|a|}X(\dfrac{s}{a});\;\;x(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(-s)\tag{5}\]
\[x^*(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X^*(s^*);\;\;X(s)=X^*(s^*)\tag{6}\]
本段來討論LT在微積分下的性質，論證中會用到微分、積分順序的交換，這可以由函數的一致收斂性得到（見微積分）。首先對LT逆變換式的兩邊分別取微分，可得式（7），它就是\(x'(t)\)的拉普拉斯展開，所以頻譜函數就是\(sX(s)\)（式（8）左）。同樣的方法，也可以得到\(s\)域微分的性質（式（8）右）。逆向使用微分性質，便能得到時域積分的LT公式（9），當\(s=0\)時性質不成立，但不影響公式在其它\(s=j\omega\)上成立。
\[x'(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)se^{st}\,\text{d}\omega\tag{7}\]
\[\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;sX(s);\;\;-tx(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\text{d}X(s)}{\text{d}s}\tag{8}\]
\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau+C\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(s)}{s}\tag{9}\]
在微積分中我們知道，任何非奇異函數與三角函數\(\cos\omega t\)的積分，在\(\omega\to\infty\)時總是趨於\(0\)的。從而在拉普拉斯變換中，當\(s\to\infty\)時（延虛軸方向）一定有\(X(s)\to 0\)。當\(x(t)\)含有奇異值時，這個性質不再成立，比如容易算得\(\delta(t)\)的LT是\(1\)。如果\(x(t)\)的（高階）微分仍不是奇異函數，利用公式（8）可以繼續得到當\(s\to\infty\)時\(s^kX(s)\to 0\)。\(x'(t)\)出現奇異值（比如僅在\(t=0\)處）的常見原因是，\(x(t)\)出現了值跳變\(\Delta=x(0^+)-x(0^-)\)。這時可以把\(x(t)\)拆成\(\Delta u(t)+g(t)\)，則\(g(t),g'(t)\)都是非奇異的，對等式兩邊做拉普拉斯變換並整理得式（10）（\(u(t)\)的LT為\(1/s\)）。當\(s\to\infty\)時（延虛軸方向）\(sG(s)\to 0\)，所以有式（11）左成立；當\(s\to 0\)時回到\(g'(t)\)的LT公式，可算得\(sG(s)\to g(+\infty)-g(-\infty)\)，加上\(\Delta\)便有式（11）右成立。課本上還假定\(x(t)\)在\(t<0\)時為\(0\)，即可以有\(x(-\infty)=x(0^-)=0\)，這時的結論會更簡潔一點，分別叫初值定理和終值定理。
\[x(t)=\Delta u(t)+g(t)\;\Rightarrow\;sX(s)=\Delta+sG(s)\tag{10}\]
\[\lim_{s\to\infty}sX(s)=x(0^+)-x(0^-);\;\;\lim_{s\to 0}sX(s)=x(+\infty)-x(-\infty)\tag{11}\]
最后來看卷積\(x(t)*y(t)\)的拉普拉斯變換，它在LIT中可以闡述為：信號\(x(t)\)在單位沖激響應為\(y(t)\)的系統下的輸出。\(X(s)\)是\(x(t)\)在基波\(e^{st}\)下的密度系數（先忽略統一系數\(\dfrac{1}{2\pi}\)）,\(Y(s)\)是基波\(e^{st}\)在系統下的響應系數，這樣分支\(X(s)e^{st}\)的系統響應就是\(X(s)Y(s)e^{st}\)，所以總響應函數的密度系數就是\(X(s)Y(s)\)。式（12）總結了這個重要的卷積性質，當然通過積分交換直接證明才是最嚴格的，請自行完成。卷積性質揭示了拉普拉斯分解對LIT系統的意義，時域的卷積在\(s\)域只是簡單的乘法。其實這個結果也沒什么好意外的，從討論特征函數起，我們就在朝這個方向行進。
\[x(t)*y(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s)Y(s)\tag{12}\]
1.3 傅里葉變換的性質
傅里葉變換是拉普拉斯變換取\(s=j\omega\)的特殊情況，故以上性質對FT也是成立的，請回顧以上性質並用\(j\omega\)帶入。做為特殊情況，傅里葉變換也必有自己獨有的性質，這里專門進行闡述。比較有代表性的是式（13）的帕斯瓦爾定理（Parseval），你可以使用\(|x(t)|^2=x(t)x^*(t)\)自行驗證，這里從另一個角度闡述。信號是一種能量，\(|x(t)|\)蘊含着能量的大小，式（13）左即是信號能量的度量公式（平方不僅計算方便、也更符合現實意義）。另外不難證明，基波\(ae^{j\omega t}\)的能量是\(|a|^2\)，且不同頻率基波的能量是互相獨立的。這就是定理的直觀解釋，頻譜系數\(X(j\omega)\)也被叫做能量譜。
\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,\text{d}\omega\tag{13}\]
式（5）左信號的伸縮，會帶來頻譜系數反向的伸縮，系數\(1/|a|\)保證了能量守恆。信號的時移（式（4）左）在頻譜上只是乘上了函數\(e^{-j\omega t_0}\)，它的意義是在對相位調制\(\omega_0 t_0\)而范數不變，這符合直觀感覺。信號翻轉時正好也帶來頻域的翻轉（式（5）右），一對正負頻率其實就是相反方向的。對實函數的性質式（6），偶函數還滿足\(x(t)=x(-t)\)，從而有\(X(-j\omega)=X^*(-j\omega)\)，即\(X(j\omega)\)為實值函數；同樣可知實奇函數的\(X(j\omega)\)為純虛值函數。
上面提到過，式（9）在\(s=0\)處不收斂，而在其它\(s=j\omega\)處仍然成立（如果\(x(t)\)的FT收斂），現在需要專門計算\(h(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\)在基波\(e^0=1\)上的頻譜。如果\(h(+\infty)=X(0)\)存在，\(h(t)\)的平均值是\(X(0)/2\)（不嚴謹），所以它對\(1\)的頻譜就是\(X(0)\delta(t)/2\)。綜合便有\(h(t)\)的頻譜系數（式（14）），注意左部分要把\(\omega=0\)去掉。另外，卷積性質（10）不具有對稱性，利用對偶式（2）可以推出式（15）的乘法性質，它是“幅度調制”理論的基礎。
\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)\tag{14}\]
\[x(t)y(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*Y(j\omega)\tag{15}\]
傅里葉級數可以納入傅里葉變換的公式，以上性質基本也適用於FS，只需把\(\omega\)換成\(k\omega_0\)、並注意頻譜系數的意義差別。但有兩個性質需要單獨論證，請自行證明。一個是帕斯瓦爾定理，式（16）將能量定義在一個周期上；另一個是周期卷積性質（式（17）），周期函數的卷積只計算一個周期的積分。
\[\int_T|x(t)|^2\,\text{d}t=T\sum_{k\in\Bbb{N}}|a_k|^2\tag{16}\]
\[x(t)*y(t)\;\overset{FS}\leftrightarrow\; Ta_kb_k\tag{17}\]
2. 常見系統函數
這里列舉一些基礎的系統函數，說它們基礎是指，它們簡單但能構建起更復雜的系統，或者通過變換性質將一個系統快速地生成為另一系統。先來看最簡單的\(\delta(t)\)，直接帶入變換式便有式（18）左。它的直觀意義很明顯，將所有基波零相移地疊加，在\(t=0\)處會產生單位沖擊，而其它位置為0。回到分解式可以有\(\int_{-\infty}^{\infty}1\,\text{d}\omega=2\pi\delta(0)\)，這個反直觀的結論在奇異函數的世界里就是成立的，直接使用它能讓前面困難的推導順暢起來。繼續對\(\delta(t)\)微分便有式（18）右，這樣\(s\)的多項式的逆變換就都有了。
\[\delta(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;1;\;\;u_n(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;s^n\tag{18}\]
階躍函數\(u(t)\)的微分是\(\delta(t)\)，根據積分性質可知頻譜系數為\(\dfrac{1}{s}\)，當然也可以直接計算並得到ROC是\(\sigma>0\)（式（19）左）。\(u(t)-1=-u(-t)\)的微分還是\(\delta(t)\)，它的LT也有非空的ROC（式（19）右）。式（19）提醒我們，變換式不能唯一確定逆變換，還需要加入ROC的因素。另外，有了簡單分式\(\dfrac{1}{s}\)，利用\(s\)域的平移性質和積分性質，可以得到式（20）的變換（\(a\)為復數）。組合兩者就能得到\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的逆變換，當然把\(u(t)\)換成\(-u(-t)\)都還有一個解，且ROC為\(\sigma<0\)。
\[u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma>0);\;\;\;-u(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma<0)\tag{19}\]
\[e^{at}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s-a};\;\;u_{-n}(t)=\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^n}\tag{20}\]
復數域內的任何分式都可以分解為多項式和一些簡單分式\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的和，故任何分式系統函數的逆變換都能給出。如果限定在實數域，分式還可能分解出二次項因子\(\dfrac{cs+d}{(s^2-2as+b)^n}\)，其中二次項可寫成\((s-a)^2+\omega^2\)。二次項的兩個根為\(a\pm j\omega\)，可以先在復數域求一次項的逆變換（先設\(a=0\)），再把共軛的一次項合並便能得到式（21）。結合\(s\)域平移和卷積便能得到一般二次項因子的逆變換，還要注意使用\(-u(-t)\)的另一個解，至此實數域分式的逆變換也解決了。
\[\cos\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{s}{s^2+\omega^2};\;\;\sin\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^2+\omega^2}\tag{21}\]