信號與系統01 信號部分

1. 信號知識點

• 1. 信號知識點
  • 1.1. 信號的分類
    • 1.1.1. 確定信號和隨機信號
    • 1.1.2. 連續時間信號和離散時間信號
    • 1.1.3. 周期信號和非周期信號
    • 1.1.4. 對稱信號和非對稱信號
    • 1.1.5. 能量有限信號，功率有限信號，能量功率均無限信號
    • 1.1.6. (反)因果信號、非因果信號
    • 1.1.7. 左邊信號、右邊信號和雙邊信號
  • 1.2. 典型信號的特點
    • 1.2.1. 實指數信號
    • 1.2.2. 虛指數信號
    • 1.2.3. 一般的復指數信號
    • 1.2.4. 離散時間的單位脈沖信號和單位階躍信號
    • 1.2.5. 連續時間的單位沖激信號和單位階躍信號
  • 1.3. 信號的運算
    • 1.3.1. 信號的(獨)自變量的運算
    • 1.3.2. 信號的微積分運算
    • 1.3.3. 信號的卷積運算

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1.1. 信號的分類

1.1.1. 確定信號和隨機信號

確定信號：信號是關於時間的一個函數
隨機信號：每一時刻信號的值服從一定的概率分布

1.1.2. 連續時間信號和離散時間信號

模擬信號：時間連續，取值連續
階梯信號：時間連續，取值離散
抽樣信號：時間離散，取值連續
數字信號：時間離散，取值離散

1.1.3. 周期信號和非周期信號

對於連續時間信號，周期信號 \(x(t)\) 的數學表示為

\[x(t) = x(t + kT_0), k \in Z \]

其中，\(T_0\) 為基波周期，基波頻率定義為 \(f_0 = 1/T_0\)，基波角頻率定位為 \(w_0 = 2\pi f_0 = 2\pi / T_0\)。

對於離散時間周期信號，定義為

\[x[n] = x[n + mN_0], m \in Z \]

其中基波周期 \(N_0\) 只能取整數（由於離散信號只能在整數時刻取值）。

直流信號的周期未定義，周期可以是任意值。

問：兩個周期信號之和一定是周期信號嗎？
對於連續時間信號，必須要求兩個周期\(T_1\)和\(T_2\)存在公倍數（\(\exist n_1, n_2 \in Z, T_1 n_1 = T_2 n_2\)），則兩信號之和仍為周期信號，周期為\(T_1\)和\(T_2\)的最小公倍數；
對於離散時間信號，兩周期序列之和必是周期序列（離散時間信號的周期為正整數，兩正整數之間總存在最小公倍數）。

技巧：一般需要使用倍角公式或積化差和公式將虛指數信號的乘積轉化為虛指數信號的和的形式。

\[\begin{cases} \sin [(a+b)x] = \sin(ax) \cos(bx) + \cos(ax) \sin(bx)\\ \sin [(a-b)x] = \sin(ax) \cos(bx) - \cos(ax) \sin(bx)\\ \end{cases}\\ \sin(ax) \cos(bx) = \frac{1}{2}\{ \sin[(a-b)x] + \sin[(a+b)x]\}\\ \cos(ax) \sin(bx) = \frac{1}{2}\{ \sin[(a-b)x] - \sin[(a+b)x]\}\\ \begin{cases} \cos [(a+b)x] = \cos(ax) \cos(bx) - \sin(ax) \sin(bx)\\ \cos [(a-b)x] = \cos(ax) \cos(bx) + \sin(ax) \sin(bx)\\ \end{cases}\\ \cos (ax) \cos (bx) = \frac{1}{2}\{ \cos[(a-b)x] + \cos[(a+b)x] \}\\ \sin (ax) \sin (bx) = \frac{1}{2}\{ \cos[(a-b)x] - \cos[(a+b)x] \}\\ \begin{cases} \cos^2 \theta = (\cos 2\theta + 1)/2\\ \sin^2 \theta = (1 - \cos 2\theta)/2 \end{cases} \]

連續時間與離散時間的虛指數信號的對比

• \(e^{jwt}\) 是周期信號，周期為 \(T=\frac{2\pi}{w}\)，頻率與信號是一一對應的，且振盪頻率隨 \(w\) 單調變化。

• \(e^{jwn}\) 不一定是周期信號（必須滿足 \(w\) 為 \(2\pi\) 的有理數倍才為周期信號），\(w, w+2\pi, w+4\pi,\cdots\) 對應的是同一個信號。當 \(w=\pi\) 信號達到最高頻率，當 \(w=0,2\pi\) 信號達到最低頻率。

1.1.4. 對稱信號和非對稱信號

奇信號

\[x(t) = -x(-t), \ x[n] = -x[-n] \]

偶信號

\[x(t) = x(-t), \ x[n] = x[-n] \]

奇諧信號 信號平移半個周期后，與原信號相加為0

\[x(t) + x(t + \frac{T}{2}) = 0,\ x[n] + x[n + \frac{N}{2}] = 0 \]

偶諧信號 信號平移半個周期\(T/2\)后，與原信號相同（本身的周期為\(T/2\)）

\[x(t) = x(t + \frac{T}{2}),\ x[n] = x[n + \frac{N}{2}] \]

任意一個信號 \(x(t)\) / \(x[n]\) 均可以分解為奇信號分量\(x_o(t)\)和偶信號分量\(x_e(t)\)之和，即

\[\begin{aligned} x(t) &= x_o(t) + x_e(t)\\ x_o(t) &= \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\\ x_e(t) &= \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]\\ \end{aligned} \]

1.1.5. 能量有限信號，功率有限信號，能量功率均無限信號

（1）有限區間內信號的能量和功率

連續時間信號 \(x(t)\) 在 \(t_1 \le t \le t_2\) 內的能量和平均功率為

\[\begin{aligned} E_t &= \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\\ P_t &= \frac{1}{t_2-t_1} E_t \end{aligned} \]

離散時間信號 \(x[n]\) 在 \(n_1 \le n \le n_2\) 內的能量和平均功率為

\[\begin{aligned} E_n &= \sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n]| ^2\\ P_n &= \frac{1}{n_2-n_1+1} E_n \end{aligned} \]

【易錯點】：

1. 注意求信號的能量是對信號的模值的平方（特別是復數信號）；
2. 求離散時間信號的平均功率注意序列的個數為 \(n_2-n_1+1\) 而非 \(n_2-n_1\)；

（2）無窮區間內信號的能量和功率

一般計算的對象是周期信號，計算的思路：先計算一/兩個周期內（包含正負兩個時間方向）信號的能量，再求極限。

對於連續時間信號：

\[\begin{aligned} E_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt\\ P_\infty &= \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} E_{_T} = \lim_{T\to +\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \end{aligned} \]

對於離散時間信號：

\[\begin{aligned} E_\infty &= \lim_{N\to \infty} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2\\ P_\infty &= \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1} E_{_N} = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \end{aligned} \]

（3）根據信號的能量和功率進行分類

1. 能量有限信號 \(E_\infty < \infty\)，平均功率必為0，一般是持續時間信號有限的信號
2. 功率有限信號 \(P_\infty < \infty\)，信號的能量為無窮，一般是持續時間無限的周期信號
3. 能量和功率均無限信號，諸如 \(x(t)=t\) 等信號

1.1.6. (反)因果信號、非因果信號

因果信號： 信號在0時刻以前沒有信號（或0時刻接入）

\[f(t) \equiv 0, t < 0 \]

反因果信號: \(f(t) \equiv 0, t > 0 \)

非因果信號： 信號在0時刻以前不等於0

\[f(t) \not = 0, t < 0 \]

1.1.7. 左邊信號、右邊信號和雙邊信號

右邊信號： 信號只在某個時間點右邊有

\[f(t) \equiv 0, t < t_0 \]

左邊信號： 信號只在某個時間點左邊有

\[f(t) \equiv 0, t > t_0 \]

雙邊信號： 既不是左邊信號，又不是右邊信號

1.2. 典型信號的特點

連續時間的復指數信號形式如下：

\[x(t) = Ce^{at} \]

其中，\(C\) 和 \(a\) 均為復數。

1.2.1. 實指數信號

當 \(C\) 和 \(a\) 均為實數，則 \(a\) 的正負決定波形的單調性。

1.2.2. 虛指數信號

\(C\) 為實數，\(a\) 為純虛數的信號，例如周期復指數信號為\(x(t) = e^{jwt}\)

1.2.3. 一般的復指數信號

\(C\) 和 \(a\) 至少有一個為復數的信號。設 \(C = |C|e^{j\theta}\) 和 \(a=r+jw\)，由歐拉公式有

\[Ce^{at} = |C|e^{j\theta} e^{(r+jw)t}=|C|e^{rt}e^{j(wt + \theta)} = |C|e^{rt} \cos(wt+\theta) + j |C|e^{rt} \sin(wt+\theta) \]

1.2.4. 離散時間的單位脈沖信號和單位階躍信號

（1）單位脈沖

\[\delta[n] = \begin{cases} 0, & n \not = 0\\ 1, & n = 0 \end{cases} \]

（2）單位階躍

\[u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0\\ 1, & n \ge 0 \end{cases} \]

（3）離散時間單位脈沖信號和單位階躍信號的關系

\[\delta[n] = u[n] - u[n-1] = \triangledown u[n] \]

\(\triangledown f(k) = f(k)-f(k-1)\) 表示后向差分，\(\triangle f(k) = f(k+1)-f(k)\) 表示前向差分。

\[u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m] \]

單位脈沖和單位階躍信號為求和和差分的關系，兩者互為逆運算。單位階躍信號可以表示為

\[u[n] = \sum_{m=0}^{+\infty} \delta[n-m] \]

【注意】

1. 和連續時間單位階躍信號不同，離散時間段額單位階躍信號在 \(n=0\) 處是有定義的
2. 矩形序列可以表示的為兩個單位階躍信號相減，例如 \(u[n-a]-u[n-b]\) 其實表示的是從 \(a \sim b-1\) 的單位脈沖，而非 \(a \sim b\)

1.2.5. 連續時間的單位沖激信號和單位階躍信號

（1）單位階躍信號

\[u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0\\ 1, & t > 0 \end{cases} \]

（2）單位沖激信號與單位階躍信號的關系

\[u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau \]

\[\delta(t) = \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d}t} \]

【注意】

1. 一般是不討論的 \(u(t)\) 在 \(t=0\) 處的值，或者認為 \(u(0) = \frac{1}{2}[u(0^+)+u(0^-)=0.5\)
2. \(u(t)\)的\(t=0\)處就是一個間斷點，對其求導可以得到一個沖激信號，其沖激強度為\(u(0^+)-u(0^-)\)
3. \(\delta(t)\)和\(\delta^\prime(t)\)的性質

1.3. 信號的運算

1.3.1. 信號的(獨)自變量的運算

時移

\(x(t)\) 向左平移 2 個時間單位，得到 \(x(t+2)\)；
\(x(t)\) 向右平移 1 個時間單位，得到 \(x(t-1)\)；
\(x(2t)\) 向左平移 3 個時間單位，得到 \(x[2(t+3)]=x(2t+6)\)；
\(x(2t)\) 向y右平移 1 個時間單位，得到 \(x[2(t-1)]=x(2t-2)\)；

時間反轉

\(x(t)\) 反褶得到 \(x(-t)\)；
\(x(2t)\) 反褶得到 \(x(-2t)\)；
\(x(2t+3)\) 反褶得到 \(x(-2t+3)\)；

擴展與壓縮

若 \(|a| > 1\)，則變換后的信號 \(x(at)\) 是 \(x(t)\) 在時間軸上壓縮 \(1/|a|\) 倍的結果；若 \(|a|<1\)，則變換后的信號\(x(at)\) 是 \(x(t)\) 在時間軸上擴展 \(|a|\) 倍的結果。

一般情況下，擴展變換不會改變信號的最大值和最小值，但是對於沖激函數，需要使用展縮特性修改其強度。（擴展導致的面積增大，強度增強，反之強度減小）

1.3.2. 信號的微積分運算

微分運算 通常用符號\(\frac{dx(t)}{dt}\)表示。

【問】：如何處理信號微分運算的間斷點，不可導點？

設該間斷點為 \(t_0\)，則在該點的導數為一個沖激函數 \(k\delta(t-t_0)\)，其強度為 \(k=x(t_0^+)-x(t_0^-)\)。

有部分信號不存在間斷點，但是存在不可導點，如\(x(t) = |t|\) 在 \(t=0\) 處不連續，按照上述定義，其在 \(t=0\) 的沖激強度為 0。

1.3.3. 信號的卷積運算

卷積運算具有交換律，結合律，分配律、微積分特性和時不變性。

交換律: \(f(t)*g(t) = g(t) * f(t)\)

結合律：\([f(t)*g(t)]*h(t) = f(t) * [g(t) * h(t)]\)

分配律：\(f(t)*[g(t) + h(t)] = f(t)*g(t) + f(t)*h(t)\)

時不變性：

\[\begin{aligned} s(t) &= f(t)*g(t)\\ s(t-t_1-t_2) &= f(t-t_1) * g(t-t_2) \end{aligned} \]

微積分特性：（要求卷積信號在 \(-\infty\) 上的值為0）

\[\begin{aligned} \frac{d f(t)}{dt} * g(t) &= f(t) * \frac{d g(t)}{dt} = \frac{d }{dt}[f(t) * g(t)]\\ \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * g(t) &= f(t) * \int_{-\infty}^{t} g(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{t} [f(\tau) * g(\tau)] d\tau\\ f(t) * g(t) &= \int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau * \frac{dg(t)}{dt} \end{aligned} \]