- 正弦信號
- 指數信號
正弦信號
連續正弦信號的定義:
$x(t)=Acos(\omega_0 t+\phi)$
其中，A為振幅，$\omega_0$和頻率有關，$\phi$是相位
python繪制連續正弦信號例子(注意計算機中保存的都是離散的數字，這里之所以能繪制出連續的正弦信號是因為精度和描點，看起來像是連續的，實際上放大后是離散的)：
x = np.arange(0,10,0.01) omega = 1 phi = 1 y = np.sin(omega*x+phi) plt.plot(x,y) plt.xlim((0,10)) plt.grid()
正弦信號的性質：
a)周期性：
$x(t)=x(t+ T_0)$==>$Acos[\omega_0+\phi]=Acos[\omega_0+\omega_0 T_0 +\phi]$
$\omega_0 T_0=2\pi m$，其中m為整數：$T_0=\frac{2\pi m}{\omega_0}$=> 周期為：$\frac{2\pi m}{\omega_0}$。
b) 時間轉移與相位改變等價
$Acos[\omega_0 (t+t_0)]=Acos[\omega_0 t+\omega_0 t_0]$，其中$\omega_0 t_0$ 為相位改變
$Acos[\omega_0 (t+t_0) + \phi]=Acos[\omega_0 t+\omega_0 t_0 \phi]$
c) 奇偶性
偶函數 $x(t)=x(-t)$
奇函數 $x(t)=-x(-t)$
離散正弦信號的定義:
$x[n]=Acos(\omega_0 n+\phi)$
其中，A為振幅，$\omega_0$和頻率有關，$\phi$是相位。
python繪制離散正弦信號例子
x = np.arange(0,10,0.1) omega = 1 phi = 1 y = np.sin(omega*x+phi) plt.plot(x,y,'o') plt.xlim((0,10)) plt.grid()
當然離散的性質和連續的一樣，這里只舉幾個例子：
a) 時間轉移與相位改變等價
$Acos[\omega_0 (n+n_0)]=Acos[\omega_0 n+\omega_0 n_0]$，其中$n_0=\Delta \phi$。
b) 在離散的信號，相位轉移=>時間改變？？？
注意，這里相位改變$\Delta \phi$ 不一定可以整除 $ \omega_0$
c) 周期性：
$\Omega_0 N = 2\pi m$ => $N = \frac{2\pi m}{\Omega_0}$
連續信號和離散信號區別
a) $x(t)=Acos(\omega_0 t+\phi)$, 任何 $\omega_0$ 都體現周期性。
b) $x[n]=Acos(\Omega_0 n+\phi)$,$N = \frac{2\pi m}{\Omega_0}$ 只有整數的情況下才成立。
指數信號
連續指數信號的定義:
$x(t)=C e^{at}$
其中，C和a都是實數。$a>0$的時候繪制如下曲線
x = np.arange(0,10,0.01) C = 1 a = 1 y = C*np.exp(a*x) plt.plot(x,y) plt.xlim((0,10)) plt.grid()
離散指數信號的定義:
$x[n]=C e^{\beta n}= C \alpha^{n}$
C和$\alpha$都是實數
x = np.arange(0,10,0.1) C = 1 a = 1 y = C*np.exp(a*x) plt.plot(x,y,'o') plt.xlim((0,10)) plt.grid()
x = np.arange(-10,2,1) C = -1 a = -0.5 y = np.power(a,x) plt.plot(x,y,'o') plt.xlim((-10,2)) plt.grid()
當$\alpha <0 and \left | a \right | < 1 $，此時如果類似$x[n]=C e^{\beta n}= C \alpha^{n}$，要寫出這樣的等式，那么就出現了復數。
復數：$x(t)=C e^{at}$，其中C和a都是復數，那么
a) $C = \left | a \right | e^{j\theta}$,
b) $ a= r+j\omega_0$,
c) $x(t) = \left | C \right | e^{j\theta} e^{(r +j\omega_0)t} = \left | C \right | e^{rt} e^{j(\omega_0 t+ \theta)} $，其中根據歐拉公式：
$e^{j(\omega_0 t+ \theta)}=cos(\omega_0 t + \theta) + j sin( \omega_0 t + \theta)$
當然，也能寫成離散的形式：
$e^{j(\Omega_0 n+ \theta)}=cos(\Omega_0 n + \theta) + j sin( \Omega_0 n + \theta)$
並且根據歐拉公式，此時復數的指數函數出現了周期性。