信號與系統學習(1)-正弦信號和指數信號

1 正弦信號

1.1連續時間

數學表達式: x(t)=Acos(ω0t+ϕ)
信號的圖像如下

1.2離散時間

數學表達式: x[n]=Acos(ω0n+ϕ)
信號圖像如下

1.3正弦信號的性質

重要的性質:

• 周期性
• 正弦的時移等於相位
• 偶函數

2 實指數信號

2.1連續時間

數學表達式: x(t)=Ceat (其中C和a是實數)
信號圖像如下

2.2離散時間

數學表達式: x[n]=Ceβn=Cαn (其中C和a是實數)
信號圖像如下

2.3性質

Time Shift <==> Scale Change（時移等於標度變換）

3 復指數信號

3.1連續時間

數學表達式: x(t)=Ceat (C and a are 復數)
下面是常見的代入推導過程
C=|C|ejθ
a=r+jω0
x(t)=|C|ejθe(r+jω0)t=|C|ertej(ω0t+θ)
其中又有 ej(ω0t+θ)=cos(ω0t+θ)+jsin(ω0t+θ)
因此 x(t)=|C|ertcos(ω0t+θ)+j|C|ertsin(ω0t+θ)
信號的圖像如下

3.2離散時間

數學表達式: x[n]=Cαn (C and a are 復數)
下面是常見的代入推導過程
C=|C|ejθ
α=|α|ejΩ0
x[n]=|C|ejθ(|α|ejΩ0)n
​ =|C||α|j(ω0n+θ)
​ =|C||α|ncos(Ω0n+θ)+j|C||α|nsin(Ω0n+θ)
信號的圖像如下

4 繪圖源碼

%% CTS 正弦信號 
x=0:pi/500:3*pi;
y=sin(x);
plot(x,y),title('y=sin(x)'),
xlabel('t'),ylabel('y');

%% CTS 實指數信號
x=linspace(0,10,100);
y=exp(x);
plot(x,y),title('y=exp(t)');
xlabel('t'),ylabel('y');

%% CTS 復指數信號
t=0:0.01:10;
y=exp((1+1i*10)*t);
subplot(211),plot(t,real(y)),title('y=exp((1+1i*10)*t)實部');
xlabel('t'),ylabel('y');
grid
subplot(212),plot(t,imag(y)),title('y=exp((1+1i*10)*t)虛部'),
xlabel('t'),ylabel('y');

%% DTS 正弦信號
n=[0:12];
y=sin(n);
stem(n,y),title('y=sin(n)'),
xlabel('n'),ylabel('y');
axis([0,12,-1.5,1.5]);

%% DTS 實指數信號
n=0:10;
y=exp(n);
stem(n,y),title('y=exp(n)'),
xlabel('n'),ylabel('y');
axis([0,10,0,9000]);

%% DTS 復指數信號
n=0:0.1:10;
y=exp((1+1i*10)*n);
subplot(211),stem(n,real(y)),title('y=exp((1+1i*0.1)*n)實部'),
xlabel('n'),ylabel('y');
grid
subplot(212),stem(n,imag(y)),title('y=exp((1+1i*0.1)*n)虛部'),
xlabel('n'),ylabel('y');