1.方波采樣
square wave的spectrum
信號經過square wave 采樣后的spectrum，時域相乘，頻域卷積。
圖中可以看到只要采樣頻率w0 是信號最大頻率兩倍還大,頻譜就不會重疊，信號就能還原.
固定長度，使用Impulse train 作為carrier。
impulse train的頻域
原信號
經過
采樣后
In other words，When I sample it. the spectrum is replicated.
We can implement exact reconstruction of the original signal by low pass filtering an impulse train whose areas are identical to the sample values.
Essentially this low pass filtering operation provides for us an interpolation in-between the sample values.
2.采樣后數據的恢復
采樣定理告訴我們，只要采樣頻率大於等於關心頻率的2倍，就能完整的還原原來的信號
一個信號經過采樣
再經過低通濾波器就能得到原來的信號，為啥?
為什么經過低通就能就能得到原來的數據
Xp stands for sampling signal. Xp是采樣后的信號
Xr代表recovered signal.
h(t) 這個信號reproduce at each sampling point of the impulses of Xp.
h(t)為理想低通濾波器.
相乘就得到原來的信號了.
3.其他類型的interpolation
Zero order hold
Linear interpolation
4.采樣后的spcreum
sampling后的連續時間Xp(t)和頻譜Xp(w)
Xp(w) 與X(omega) 一個是連續一個是離散，但是值一樣
采樣后的Xp(w)傅里葉變換和離散時間X(omega)傅里葉變化的關系。
離散時間X(omega)傅里葉是連續時間Xp(w)的stretch T times
時域分析
從上圖到下圖，是一種noromalization, 從1T,2T,3T到數字(1 2 3)
相當於把時間域compress T倍,resacle it from 1T 2T to 1 2.
It means we divide out in time domain by a factor which is the sampling frequency.
Dividing by T in times domain means expand T in frequency domain
If sampling period is doubled. The spacing stretching out by a factor of 2 (上上圖).
頻域分析
采樣后的spctrum
歸一化后的spectrum, strech了T倍
5.離散時間采樣
上圖是原來的spectrum, 中間是采樣spectrum. 下圖是采樣后的spectrum.
時間分析
Xd means decimation version
把下面的omega 替代成 omega * N. 上下兩個equation equals
頻域分析
Original signal
After sampling
After decimation
