4.1微分方程的奇點（李家春）

復習奇點

函數奇異點與方程奇異點不同

函數奇點分類

	極限角度	級數角度
解析點 &可去奇點 例\(\frac{\sin(x)}{x}\)	\(\lim_{x \to x_0} f(x)=A\) 級限存在且有限	無負冪項 \(\sum_{n=0}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^n\)
極點 \(\frac {1}{{(x-x_0)}^2}\)	\(\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty\)	有限個負冪項 \(\sum_{n=-m}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^n\)
m階極點	\(\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^m=A\) \(\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^{m-1}=\infty\)	最小次冪為-m \((x-x_0)^{-m}\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k\) \(\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k\)是解析的why
本性奇點	\(x\rightarrow x_0\),極限不存在 \(e^{\frac 1 z},z\rightarrow0^+\)是無窮大；\(z\rightarrow0^+\)是0	無窮個負項 \(\sum_{-\infty}^{+\infty}f_n(x-x_0)^n\)

枝點:
\(w=\sqrt{z-a}\)

z平面內走一圈，\(\omega\)平面內也走一圈


z平面內繞着a走一圈，\(\omega\)平面只走半圈
因為

a是枝點

一般地說，對於多值函數w=f（z），若在繞某點一周，函數值w不復原，而在該點各單值分支函數值相同，則該為多值函數的支點。若當z繞支點n周，函數值w復原，便稱該點為多值函數的n-1階支點。

微分方程的奇點

討論一階常微分方程

\[y'(x) = F(x)y(x)\tag{4.1.1} \]

有通解\(y = Ce^{\int F(\tau)d\tau}\)

所以方程的解的性質被\(F(\tau)\)決定
若\(F(x)\)在\(x_0\)的鄰域\(|x-x_0|<R\)內解析，則有泰勒展開

\[F(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty F_n(x-x_0)^n \]

則，解可以寫作

\[y = C\exp \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{F_n(x-x_0)^{n+1}}{n+1}\right) \]

逐項積分得到

它亦是 \(x_0\)的鄰域\(x_0\)的鄰域\(|x-x_0|<R\)內的解析函數，這時，我們稱 \(x_0\)為微分方程（4.1.1）的正常點（ordinary point）.
若 \(x_0\)為函數 F（x）的一階極點，即 F（x）在 \(x_0\)點附近可表達為∶

\[F(x)=\frac{1}{x-x_{0}} \sum_{n=0}^{\infty} F_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \]

F(x)展開為洛朗級數

\[\sum_{n=-1}^{\infty}\frac {c_n}{(x-x_0)^n} \]

乘以

\[\frac{x-x_0}{x-x_0} \]

求和號里-1項就沒了

這時，方程的解為

\[y=c\left(x-x_{0}\right)^{F_{0}} \exp \left[F_{1}\left(x-x_{0}\right)+\frac{F_{2}}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\right] \]

\[\begin{align} y&=Ce^{\int F(t)dt} \\&=Ce^{\int{\frac 1 {x-x_0}\sum_{n=0}^{\infty}\quad (x-x_0)^n}d(x-x_0)} \\&=Ce^{[\int \frac{F_0}{x-x_0}+F_1+F_2(x-x_0)^1+\dots] d(x-x_0)} \\&=Ce^{[F_0\ln (x-x_0)+F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=Ce^{F_0\ln (x-x_0)}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=C(x-x_0)^{F_0}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \end{align}\]

除了\(F_0\)為正整數外，\(x_0\) 點是方程（4.1.1）解的極點或支點，這時，我們稱\(X_0\)為微分方程（4.1.1）的正則奇點（regular singular point）. 請注意，在正則奇點鄰域內依然可以有解析解，譬如 \(F_0\)為正整數的情形.

\(F_0\)為負整數，\(x_0\)是極點。\(F_0\)為分數，\(x_0\)是支點。

若 \(x_0\)為函數 F（x）的二階或二階以上極點，即 F（x）在 \(x_0\) 點附近可表達成

\[F(x)=\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{N}} \sum_{n=0}^{\infty} F_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}, \quad N \geq 2 \]

故方程（4.1.1）的解為

\[\begin{aligned} F &=c\left(x-x_{0}\right)^{F_{N-1}} \exp \left[\frac{-F_{0}}{(N-1)\left(x-x_{0}\right)^{N-1}}-\frac{F_{1}}{(N-2)\left(x-x_{0}\right)^{N-2}}\right.\\ &\left.-\cdots-\frac{F_{N-2}}{\left(x-x_{0}\right)}\right] \cdot \exp \left[F_{N}\left(x-x_{0}\right)+\frac{F_{N+1}}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\right] \end{aligned}\]

\[\begin{align} y&=Ce^{\int F(t)dt} \\&=Ce^{\int{\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{N}} \sum_{n=0}^{\infty} F_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}d(x-x_0)} \\&=Ce^{\int[\frac{F_0}{{(x-x_0)}^{N}}+\frac {F_1}{{(x-x_0)}^{N-1}}+\frac{F_2}{{(x-x_0)}^{N-2}}+\dots+F_n+F_{n+1}\quad(x-x_0)+F_{n+2}(x-x_0)^2+\dots] d(x-x_0)} \\&=Ce^{[\frac{-F_0}{(N-1)(x-x_0)^{N-1}}\quad+ \frac{-F_1}{(N-2)(x-x_0)^{N-2}}+\dots+F_{N-1}\ln{(x-x_0)}+F_N(x-x_0)+\frac 1 2 F_{N+1}(x-x_0)^2+\dots]} \\&=Ce^{F_{N-1}\ln (x-x_0)}e^{[\frac{-F_0}{(N-1)(x-x_0)^{N-1}}\quad+ \frac{-F_1}{(N-2)(x-x_0)^{N-2}}+\dots+\frac{-F_{N-2}}{(x-x_0)}+F_N(x-x_0)+\frac 1 2 F_{N+1}(x-x_0)^2+\dots]} \\&=C(x-x_0)^{F_{N-1}}e^{[\frac{-F_0}{(N-1)(x-x_0)^{N-1}}\quad+ \frac{-F_1}{(N-2)(x-x_0)^{N-2}}+\dots\frac{-F_{N-2}}{(x-x_0)}+F_N(x-x_0)+\frac 1 2 F_{N+1}(x-x_0)^2+\dots]} \end{align}\]

顯然，xo 是方程的解的本性奇點.這時，我們稱 \(x_0\)為微分方程（4.1.1）的非正則奇點（irregular singular point）.

因為出現了\(e^{\frac 1{x-x_0}}\),\(\quad x_0\)是本性奇點。

歸納起來，我們可以從微分方程系數的性質，確定奇點分類，並推斷解的性質。

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我們再來討論二階常微分方程

\[y^{\prime\prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0\tag{4.1.9} \]

的奇點類型。
若方程（4.1.9）的系數p（x），q（x）在\(| x一x_0| <R\)內解析.我們稱 \(x_0\)為方程（4.1.9）的正常點.它的解至少在該鄰域內解析.
若方程（4.1.9）的系數p（x），q（x），滿足 \(p（x）（x-x_0），q（x）（x-x_0）^2\)，在$ |x-x_0|<R$內解析，我們稱 \(x_0\) 為方程（4.1.9）的正則奇點，那么在該鄰域內它的兩個線性無關解的形式為∶

\(p（x）（x-x_0）\)解析，說明\(p(x)\)最多是一階極點。同理，\(q(x)\)最多是二階極點。

\[y_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{\rho_{1}} \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \tag{4.1.10} \]

\[y_{2}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{\rho_{2}} \sum_{n=0}^{\infty} d_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \tag{4.1.11} \]

或

\[y_{2}(x)=g y_{1}(x) \ln \left(x-x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)^{\rho_{2}} \sum_{n=0}^{\infty} d_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} \]

我們稱（4.1.10）為Frobenius 型級數解，稱（4.1.10），（4.1.11）為正則解.請注意，當\(\rho _1,\rho_2\)為零或正整數時，正則解是解析函數，所以，正則解包括了解析解的情況，否則就是極點或支點;

\(y_1\)是F型級數，\(y_2\)可能是F型級數，也可能是兩個F型級數相加。

若方程（4.1.9）的系數 p（x），g（x）中至少有一個不滿足 \(p（x）（x-x_0），q（x）（x-x_0）^2\)在 \(x_0\)解析的條件，我們稱該點為方程（4.1.9）的非正則奇點.在該點鄰域內至少有一個解在 xo點有本性奇點.

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同樣地，上述的奇點分類法可以推廣到 n 階常微分方程的情況∶

\[y^{(n)}+p_{n-1}(x) y^{(n-1)}+p_{n-2} y^{(n-2)}+\cdots+p_{0}(x) y=0\tag{4.1.12} \]

若方程（4.1.12）的系數\(p_0，p_1，…，P_{n-1}\)在\(x_0\)的鄰域\(|x-x_0|<R\)內解析，我們稱\(x_0\)為該方程的正常點，它的解至少在該鄰域內解析;
若方程（4.1.12）的系數 \(p_0，p_1，…，P_{n-1}\)在\(x_0\)的鄰域\(|x-x_0|<R\)內滿足
\(p_{0}(x)\left(x-x_{0}\right)^{n}, p_{1}(x)\left(x-x_{0}\right)^{n-1}, \cdots, p_{n-1}(x)\left(x-x_{0}\right)\)解析的條件，我們稱\(x_0\)為方（4.1.12）的正則奇點.它在\(|x-x_0|<R\) 內有n 個線性無關的正則解。

\[y(x)=\left(x-x_{0}\right)^{\gamma} \sum_{i=0}^{n-1}\left[\ln \left(x-x_{0}\right)\right]^{i} A_i(x)\tag{4.1.13} \]

式中，\(A_i\)是該鄰域內的解析函數，注意，（4.1.13）包括了（4.1.10）（4.1.11）的形式有支點、極點的情況在內，也包括了解析的情況.
若方程（4.1.12）的系數 \(p_1，P_2，，P_{n-1}\)在\(x_0\)的鄰域\(|x-x_0|<R\)內，至少有一個不滿足\(p_{0}(x)\left(x-x_{0}\right)^{n}, p_{1}(x)\left(x-x_{0}\right)^{n-1}, \cdots, p_{n-1}(x)\left(x-x_{0}\right)\)解析的條件，我們稱 \(x_0\)為方程（4.1.12）的非正則奇點，它至少有一個解在點\(x_0\)有本性奇點.
從上面關於奇點分類的結論中，我們看到，奇點的類型主要由微分方程的系數在該點鄰域內的性態唯一決定的，而不是由解的性態唯一決定的，但我們卻有如下的逆定理（Fuchs，1866）.
若微分方程（4.1.12）的所有線性獨立解在\(x_0\)的鄰域 \(|x-x_0| <R\)內是正則解（4.1.13）.那么 \(x_0\)至多是該方程的正則奇點.

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至於無窮遠奇點的分類，這只要作變換

\[x=\frac 1 t\tag{4.1.14} \]

就可把無窮遠點變換成原點，然后按通常的方法進行討論，以一階方程為例，在變換（4.1.14）下，原方程化成

\[\frac{d y}{d t}+F\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^{2}} y=0 \tag{4.1.15} \]

\(\frac{d y}{d t}+F\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^{2}} y=0\)

或

\[F(x)=\frac{1}{x^{n}} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_{i}}{x^{i}}=t^{n} \sum_{i=0}^{\infty} a_{i} t^{i}\tag{4.1.16} \]

4.1.16帶入4.1.15，得到 \(y'+\tilde{F}(t)y=0\)

因此

\[\tilde{F}(t)=F\left(\frac{1}{t}\right) \frac{1}{t^{2}}=t^{n-2} \sum_{i=0}^{\infty} a_{i} t^{i}\tag{4.1.17} \]

\[y'+\tilde {F}(t)y=0\tag{①} \]

若t是\(\tilde{F}\)的解析點，t是①的正常點.要求\(t^{n-2} \sum_{i=0}^{\infty} a_{i} t^{i}\)中的\(n\ge2\),也就要求\(F(x)=\frac{1}{x^{n}} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_{i}}{x^{i}}\)的\(n\ge2\)
若t是\(\tilde{F}\)的一階極點，t是①的正則奇點.

根據前面對一階方程奇點分類的討論，可得出如下結論∶
\(F(x) =\frac{1}{x^{2}}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\cdots\right)\)， \(\infty\)為正常點
\(F(x) =\frac{1}{x}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\cdots\right)\),\(\infty\)為正則奇點
\(F(x)\)為其他情況，\(\infty\)為非正則奇點

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同樣地, 我們可以討論二階常微分方程:

\[y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 \]

在 \(\infty\) 處的奇點分類, 結論如下: 若在 \(\infty\) 鄰域內

\[\begin{aligned} &p(x)=\frac{2}{x}+\frac{p_{1}}{x^{2}}+\cdots \\ &q(x)=\frac{1}{x^{4}}\left(q_{0}+\frac{q_{1}}{x}+\cdots\right) \end{aligned} \]

那么, \(\infty\) 處為方程的正常點.
若在 \(\infty\) 鄰域內

\[\begin{aligned} &p(x)=\frac{1}{x}\left(p_{0}+\frac{p_{1}}{x}+\cdots\right) \\ &q(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(q_{0}+\frac{q_{1}}{x}+\cdots\right) \end{aligned} \]

那么, \(\infty\) 處為方程的正則奇點.
\(p(x), q(x)\) 在其它情況下, \(\infty\) 為方程的非正則奇點.
由於本章的重點是放在如何求微分方程的漸近解上, 對於奇點分類的一些證明, 我們不予蓛述, 有興趣的讀者可以參看有關書籍 (王竹溪 1965). 但我們還要舉一些例子來說明上述這些定理的應 用, 因為正確地分析奇點類型是求解微分方程的前提.

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[ 例 4.1.1] \(\quad(x-1)(2 x-1) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0\).

\(y''+\frac{2y'}{(x-1)(2 x-1)}-\frac{2y}{(x-1)(2 x-1)}=0\)
\(p(x)=\frac{2}{(x-1)(2 x-1)},q(x)=\frac{2}{(x-1)(2 x-1)}\)

該方程在 \(x=1, x=\frac{1}{2}\) 是正則奇點(也是一階極點), 它有兩個解為 \(y_{1}=x, y_{2}=\frac{1}{x-1}\), 其中 \(y_{1}\)在該兩奇點附近解析, \(y_{2}\) 的收㪉半徑也超過系數的收僉半徑.

[ 例 4.1.2] \(y^{\prime \prime}+\frac{1-x}{x} y^{\prime}-\frac{1}{x^{2}} y=0\)

x=0是p(x)的一階極點，是q(x)的二階極點

, 該方程在 \(x=0\) 有正則奇點, 它有兩個解為 \(y_{1}=\frac{1+x}{x}, y_{2}=\frac{e^{x}-x-1}{x}\), 其中 \(y_{1}\) 在 \(x=0\) 有極點, \(y_{2}\) 在 \(x=0\) 解析.

[ 例 4.1.3] \(x^{\prime \prime}-\frac{1+x}{x} y^{\prime}+\frac{1}{x} y=0\)

x=0是p(x)的一階極點，是q(x)的一階極點

, 該方程在 \(x=0\) 有正則奇點, 但它的兩個解 \(y_{1}=e^{x}, y_{2}=1+x\) 在那里均為解析函數.

[ 例 4.1.4] \(x^{3} y^{\prime \prime}+x(1-2 x) y^{\prime}-2 y=0\)

\(y^{\prime \prime}+\frac{(1-2 x)}{x^2} y^{\prime}-\frac 2{x^3} y=0\)
x=0是p(x)的二階極點，是q(x)的三階極點

, 該方程在 \(x=0\) 附 近有非正則奇點, 其解 \(y_{1}=x^{2}(1+2 x), y_{2}=x^{2} e^{\frac{1}{x}}(1-2 x)\), 其中 \(y_{2}\) 在 \(x=0\) 附近有本性奇點, 但 \(y_{1}\) 卻是解析的.

[ 例 4.1.5] \(y^{\prime}=x^{\frac{1}{2}} y\)

x=0是支點，既不是正則奇點，也不是非正則奇點

, 它的解為

\[y=a e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}=a \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right)^{n} \]

注意, 該冪級數不是以整數次冪遞增的, 所以它不是 Frobenius 型 的級數.

[ 例 4.1.6] \(y^{\prime \prime}+(1+3 x) y^{\prime}+y=0\)

, 我們可形式地求冪級 數解

\[y=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} n ! x^{n} \]

雖然它是以整數次冪遞增的, 但它也不是 Frobenius 型的級數, 因 為它是發散的.

F型級數收斂

上面這些例子, 都給我們指出了, 應用奇點分類定理時, 千萬 不要單純地從解的形式來判斷奇點的類型.

[ 例 4.1.7] Bessel 函數滿足方程

\[x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\nu^{2}\right) y=0 \]

\(y^{\prime \prime}+\frac 1 x y^{\prime}+\frac {\left(x^{2}-\nu^{2}\right)}{x^2} y=0\)
x=0,是p(x)一階極點，是q(x)二階極點；
\(x=\infty\)，p(x)不符合\(p(x)=\frac{2}{x}+\frac{p_{1}}{x^{2}}+\cdots\)，符合\(p(x)=\frac{1}{x}\left(p_{0}+\frac{p_{1}}{x}+\cdots\right)\)。q(x)不符合\(q(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(q_{0}+\frac{q_{1}}{x}+\cdots\right)\)。所以是非正則奇點。

從方程可知, Bessel 函數在 \(x=0\) 為正則奇點, \(x=x\) 為非正則奇點.

[ 例 4.1.8] 超越幾何函數滿足方程

\[x(1-x) y^{\prime \prime}+[c-(a+b+1) x] y^{\prime}-a b y=0 \]

\(y^{\prime \prime}+\frac{[c-(a+b+1) x]}{x(1-x)} y^{\prime}-\frac{a b }{x(1-x)}y=0\)
\(p(x)=\frac{[c-(a+b+1) x]}{x(1-x)},q(x)=-\frac{a b }{x(1-x)}\)

它在 \(x=0,1, \infty\) 處有奇點, 奇點的類型討論如下:

• \(x=0, c \neq 0\) 為正則奇點, \(a b=0, c=0\) 為正常點.
• \(x=1\), 一般為正則奇點, \(a b=0, c=a+b+1\) 為正常點.
• \(x=\infty\), 一般是正則奇點; \(a b=0, a+b=1\) 為正常點.

\[x=\infty,t=\frac 1 x,\\ p(t)=p(x)=\frac{[c-(a+b+1) \frac 1 t]}{(\frac 1 t)(1-\frac 1 t)}\\ p(t)(t-0)=\frac{[c-(a+b+1) \frac 1 t]t}{(\frac 1 t)(1-\frac 1 t)}=\frac{[ct-(a+b+1) ]}{\frac {t-1}{t^2}}=t^2\frac{[ct-(a+b+1) ]}{t-1}\\ \lim_{t\rightarrow0}t^2\frac{[ct-(a+b+1) ]}{t-1}=0，是有限值\\ q(t)t^2=-\frac{a b t^2}{\frac 1 t(1-\frac 1 t)}\\ \lim_{t\rightarrow0}q(t)t=0,是有限值 所以是正則奇點 \]

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