解微分方程+ode求解器

 

該命令中可以用D表示微分符號，其中D2表示二階微分，D3表示三階微分，以此類推。

求精確解

1.微分方程

r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').

解釋如下：eqni表示第i個微分方程，condi表示第i個初始條件，var表示微分方程中的自變量，默認為t。

>> dsolve('Dy=3*x^2','y(0)=2','x')
 
ans = 

x^3 + 2 

 2.微分方程組

>> [x,y]=dsolve('Dx=y','D2y-Dy=0','x(0)=2','y(0)=1','Dy(0)=1')
 
x =
 
exp(t) + 1
 
 
y =
 
exp(t)

3.求解微分方程組在初始條件x (t = 0)= 1, y (t =0 )= 0 下的特解,並畫出解函數的圖像。

>> [x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')
 
x =
 
exp(t*(15^(1/2) - 1))*(15^(1/2) - 4)*((13*15^(1/2))/330 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 + 1/22) + 1/22) - exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(exp(2*t + 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 - 1/22) + (15^(1/2)*(15^(1/2) - 13))/330)*(15^(1/2) + 4)
 
 
y =
 
exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(exp(2*t + 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 - 1/22) + (15^(1/2)*(15^(1/2) - 13))/330) + exp(t*(15^(1/2) - 1))*((13*15^(1/2))/330 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 + 1/22) + 1/22)
 
>> ezplot(x,y)

 ezplot與plot的區別

plot(x,y)以x為橫坐標，y為縱坐標繪制曲線

plot(x,y1,x,y2,...)以x為橫坐標值，以y1，y2...元素為縱坐標值繪制多條曲線

plot中x,y的表達式是已知的或者是形如y=f(x)的表達式

而ezplot是畫出隱函數圖形，是形如f(x,y)=0這種不能寫出像y=f(x)這種函數的圖形，explot無需數據准備，直接畫出函數圖形

 

 

 

求近似解

ode求解器

求解器	問題類型	精度	何時使用
ode45	非剛性	中	大多數情況下，您應當首先嘗試求解器 ode45。
ode23		低	對於容差較寬松的問題或在剛度適中的情況下，ode23 可能比 ode45 更加高效。
ode113		低到高	對於具有嚴格誤差容限的問題或在 ODE 函數需要大量計算開銷的情況下，ode113 可能比 ode45 更加高效。
ode15s	剛性	低到中	若 ode45 失敗或效率低下並且您懷疑面臨剛性問題，請嘗試 ode15s。此外，當解算微分代數方程 (DAE) 時，請使用 ode15s。
ode23s		低	對於誤差容限較寬松的問題，ode23s 可能比 ode15s 更加高效。它可以解算一些剛性問題，而使用 ode15s 解算這些問題的效率不高。 ode23s 會在每一步計算 Jacobian，因此通過 odeset 提供 Jacobian 有利於最大限度地提高效率和精度。 如果存在質量矩陣，則它必須為常量矩陣。
ode23t		低	對於僅僅是剛度適中的問題，並且您需要沒有數值阻尼的解，請使用 ode23t。  ode23t 可解算微分代數方程 (DAE)。
ode23tb		低	與 ode23s 一樣，對於誤差容限較寬松的問題，ode23tb 求解器可能比 ode15s 更加高效。
ode15i	完全隱式	低	對於完全隱式問題 f(t,y,y’) = 0 和微分指數為 1 的微分代數方程 (DAE)，請使用 ode15i。

 

 

 

1. 求解微分方程初值問題的數值解，求解范圍為區間 [0,0.5] 。

inline()通俗的來說就是用於定義函數，使用inline定義一個函數

給a，b，x賦值即可得到y

>> f=inline('a*x+b','a','b','x');
>> f(1,2,3)

ans =

     5

 

 求常微分方程的數值解，MATLAB的命令格式為：

[t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)

其中solver選擇ode45等函數名，odefun為根據待解方程或方程組編寫的m文件名，tspan為自變量的區間[t0,tf]，即准備在那個區間上求解，y0表示初始值，options用於設定誤差限制。命令格式為：

options=odeset('reltol',rt,'abstol',at)

rt輸入相對誤差，at輸入絕對誤差。

 

參考：https://wenku.baidu.com/view/b4a6fecc6aec0975f46527d3240c844768eaa06f.html