二分圖

二分圖:

定義:

二分圖的定義就是:所有節點由兩個集合組成,而且兩個集合內部沒有邊的圖.

換言之,就是存在一種方案讓節點划分成滿足以上性質的兩個集合.

二分圖判定:

因為希望兩個集合內部沒有邊,所以試着用黑白兩種顏色標記圖中的節點,相鄰節點標記不同顏色,判斷是否會有沖突即可.

二分圖最大匹配

定義:

任意兩條邊沒有公共頂點的邊 的集合叫做圖的一組匹配,在二分圖中, 包含邊數 最多的一組匹配叫做二分圖的最大匹配.

解決:

我們希望匹配數量最多,所以盡量使更多的點能夠與二分圖另一半相連.

考慮這樣一種情況: \(AB,CD\) 形成一個二分圖,其中 \(A\) 連接 \(C,D\), \(B\) 連接 \(C\)

一開始,因為遍歷的順序,肯定先 \(A\) 連接 \(C\), 那么 \(B\) 怎么辦? 這就需要使用一些算法:

經常使用的是 匈牙利算法.

匈牙利算法:

過程參考了 <<算法競賽進階指南>>.

過程為:

1. 設 \(S=\emptyset\), 一開始所有邊都是非匹配邊.
2. 尋找增廣路,把路徑上所有邊的匹配狀態 取反 得到一個更大的匹配,重復這個操作,直到找到增廣路.

尋找增廣路:嘗試給每一個左部節點 \(x\) 找到一個匹配的右部節點 \(y\). 過程為:

1. \(y\) 本身為非匹配點,直接匹配即可.
2. \(y\) 本身為 \(x'\) 匹配,但從 \(x'\) 出發能找到另一個 \(y'\) 與之匹配,此時路徑的 \(x\rightarrow y\) , \(x'\rightarrow y'\) 就是一條增廣路.

增廣路過程:找 \(y\) 對應連接的 \(x'\) ,看是否能和其他點相匹配就行.

代碼:

//P3386 【模板】二分圖最大匹配
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,e;
vector<int> g[N];
int match[N],vis[N],ans;
bool dfs(int x){
    for(auto y:g[x]){
        if(vis[y]) continue;
        vis[y]=1;
        if(!match[y]||dfs(match[y])){//向下探索對應連接點是否能有增廣路
            match[y]=x; return true; 
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    cin>>n>>m>>e;
    for(int i=1,x,y;i<=e;i++)scanf("%d%d",&x,&y),g[x].push_back(y);
    for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis,0,sizeof(vis)); if(dfs(i)) ans++;}
    cout<<ans<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

例題:[SHOI2002]舞會

題意:

給定 \(n\) 人,有 \(m\) 個限制條件要求 \(A,B\) 不能同時出現,求最多出現人的個數.

分析:

觀察數據范圍,顯然暴力的連接不連通的邊肯定過不去。因此，有一個定理：

二分圖最大獨立集 \(=\) (\(n-\) 最小點覆蓋) \(=\) (\(n-\) 二分圖最大匹配數)

我們首先把左右兩邊的限制條件建立無向邊，然后進行二分圖的染色。

這樣染色后，我們得到了顏色為 \(1\) 和顏色為 \(2\) 的點。二分圖最大匹配要求 \(1\) 和 \(2\) 顏色的點相互連接的最大個數。

利用匈牙利定理。將顏色為 \(1\) 的點跑匈牙利算法即可。得到最大匹配數量為 \(ans\),,答案即為 \(n-ans\).

代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=4e4+5;
int n,m;
vector<int> g[1005],a;
int col[N],match[N],vis[N],ans;

void getcol(int x,int c){
    col[x]=c;  
    if(c==1) a.push_back(x);
    for(auto y:g[x]){
       if(!col[y]) getcol(y,3-c);
    }
}
bool dfs(int x){
    for(auto y:g[x]){
        if(vis[y]) continue; vis[y]=1;
        if(!match[y]||dfs(match[y])){
            match[y]=x; return true;
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y); x++,y++;
        g[x].push_back(y); g[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!col[i]) getcol(i,1);
    for(int i=0;i<a.size();i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis)); if(dfs(a[i])) ans++;
    }
    cout<<n-ans<<endl;

    system("pause");
    return 0;
}

[NOI2009] 變換序列

題解

模型：

二分圖匹配有兩個要素：

1. 節點能分成獨立的兩個集合，每個集合內部沒有邊
2. 每個節點只能與一條匹配邊連接。

我們需要尋找題目中這種性質，就能利用二分圖匹配解決問題。

二分圖的最小點覆蓋——\(konig\) 定理

找不到那個 \(o\) 上帶兩個點的先用 \(o\) 吧...

問題：

給定一張二分圖，求出一個最小的點集 \(S\) ，使得圖中任意一條邊都有至少一個端點屬於 \(S\) 。這個問題被稱為二分圖的最小點覆蓋。

定理：

二分圖最小點覆蓋包含的點數等於二分圖最大匹配包含的邊數

最大匹配是原來二分圖邊集的一個子集，並且所有邊都不相交，所以至少需要從每條匹配邊中選出一個端點。

因此，最小點覆蓋包含的點數不可能小於最大匹配包含的邊數。

如果能對二分圖構造出一組點覆蓋，其包含的點數等於最大匹配包含的邊數，那么就能證明這個定理。

構造方法：

1. 求出來二分圖最大匹配
2. 從左部每個非匹配點出發，再執行一次 \(dfs\) 尋找增廣路的過程（一定會失敗），標記訪問過的節點。
3. 取 左部沒有被標記的點和右部被標記的點，就得到了二分圖最小點覆蓋。

例題：

UVA1194 Machine Schedule

題意：

有兩台機器分別有 \(n,m\) 種模式，現在有 \(k\) 個任務，對於每個任務 \(i\) ，給定兩個整數 \(a_i,b_i\) ，如果任務在 \(A\) 執行，模式設置為 \(a_i\), \(B\) 為 \(b_i\).

需要求出來 \(a,b\) 轉換次數最小值。

分析：

二分圖最小覆蓋的模型特點則是：每條邊有兩個端點，兩者至少選擇一個端點。

在這道題中，每個任務要么在 \(A\) 上使用 \(a_i\), 要么在 \(B\) 上使用 \(b_i\)

我們可以把機器 \(A\) 的 \(m\) 種模式作為 \(m\) 個左部點，\(B\) 作為右部點。

每個任務作為無向邊，連接左部的 \(a[i]\) 個節點和右部的第 \(b[i]\) 個節點。

用盡量少的模式，處理出來所有的任務，就是 二分圖的最小覆蓋。

題意：

//UVA1194 Machine Schedule
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,k;
vector<int> g[N];
int a[N],b[N],ans,vis[N],match[N];

bool dfs(int x){
    for(auto y:g[x]){
        if(vis[y]) continue;
        vis[y]=1;
        if(!match[y]||dfs(match[y])){
            match[y]=x; return true;
        }
    }
    return false;
}
void init(){
    for(int i=0;i<=1005;i++) g[i]=g[N-1];
    for(int i=0;i<=1005;i++) vis[i]=match[i]=0; ans=0;
}

int main(){
    while(1){
        cin>>n;if(n==0) break; cin>>m>>k;
        for(int i=1,t,x,y;i<=k;i++){
            scanf("%d%d%d",&t,&x,&y); if(x==0||y==0) continue;
            g[x].push_back(y+n); g[y+n].push_back(x);
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            memset(vis,0,sizeof(vis)); if(dfs(i)) ans++;
        }
        printf("%d\n",ans);
        init(); 
    }
    // system("pause");
    return 0;
}

二分圖最大獨立集：

定義：

給定一張無向圖 \(G=(V,E)\)，滿足以下條件的點集 \(S\) 叫做圖的獨立集。

1. \(S\in V\)
2. \((x,y)\notin E\)

定理：

二分圖的點數-二分圖最小點覆蓋=二分圖最大獨立集。

這個其實很好證明，直接用就行了。

有向無環圖的最小點覆蓋

定義：

給定一個有向無環圖，要求用盡量少的不相交的簡單路徑，覆蓋無向圖的所有頂點，這個問題被稱為無向圖的 最小路徑覆蓋

定理：

首先需要把這個有向無環圖轉化一下：把第 \(i\) 個點拆成 \(i\) 和 \(i+n\)，對於每個連邊 \((x,y)\) ，連接 \((x,y+n)\)，最終得到的圖叫做 拆點二分圖

最小點覆蓋包含的路徑條數，等於 \(n\) 減去拆點二分圖的最大匹配數。