圖論——染色法判定二分圖

　　首先明確概念：

　　二分圖：設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G為一個二分圖。

　　奇數環：一個圖中邊數為奇數的環。

　　染色法原理：

　　首先任意取出一個頂點進行染色，和該節點相鄰的點有三種情況:

　　1.如果未染色，那么繼續染色此節點（染為另一種顏色）

　　2.如果已染色但和當前節點顏色不同，則跳過該點

　　3.如果已染色並且和當前節點顏色相同，返回失敗(該圖不是二分圖)

　　明確二分圖、奇數環、染色法之間的關系：

　　如果一個圖中存在奇數環，那么這個圖一定不是二分圖；這一點顯然成立。

　　如果一個圖中不存在奇數環，那么這個圖一定是二分圖：

　　證明：用染色法。從某個點開始逐層交叉染色，在染色過程中：

　　　　若發現有某條邊的兩個端點着色相同，則必定存在奇數環①，與題意相矛盾。

　　　　若沒有發現，則根據染色法原理，每一條邊的兩端着色必然不同，那么根據二分圖的定義，就可知這個圖是一個二分圖。

　　　　①的證明：

　　　　　　不妨設這條邊的兩個端點着色都為1，且這兩點必然是由同一個源點擴展而來。那么根據染色法原理，因為這兩個點的着色相同，那么從源點到這兩個點所經過的邊數（假設分別為x和y）的奇偶性必然相同，那么這個環的總邊數為x+y+1，由數學知識得這個數必然是奇數。　

　　　　證畢！

　　模板題鏈接：染色法判定二分圖

　　代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010;
struct Edge{
    int to,next;
}edge[M];int cnt;
int n,m;
int h[N],color[N];

void add_edge(int u,int v)
{
    edge[++cnt].to=v;
    edge[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}

bool dfs(int u,int c)
{
    color[u]=c;
    for(int i=h[u]; ~ i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if(color[to]==c)
        {
            return false;
        }
        else if(!color[to]&&!dfs(to,3-c))return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        add_edge(a,b);add_edge(b,a);
    }
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!color[i])
        {
            if(!dfs(i,1))
            {
                flag=false;
                break;
            }
        }
    }
    if(flag)printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
}