二分圖的定義及判斷

二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A, j in B)，則稱圖G為一個二分圖。

二分圖的另一種等價的說法是，可以把每個節點着以黑色和白色之一，使得每條邊的兩個端點顏色不同.不難發現，非連通的圖是二分圖當且僅當每個連通分量都是二分圖，因此我們只考慮無向連通圖。

     

上圖就是一個二分圖

 

 

上圖不是個二分圖

 

那么我們如何去判斷一個圖是否是二分圖呢？

這里我們采取的是二分圖染色法：用兩種顏色，對所有頂點逐個染色，且相鄰頂點染不同的顏色，如果發現相鄰頂點染了同一種顏色，就認為此圖不為二分圖。 當所有頂點都被染色，且沒有發現同色的相鄰頂點，就退出

 

第一種寫法：DFS

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 1000010
using namespace std;

vector<int> graph[MAXN];
int color[MAXN];
int vis[MAXN];

bool DFS(int u)
{
    vis[u] = 1;
    int len = graph[u].size();
    for (int j=0;j<len;j++)
    {
        int v = graph[u][j];
        if (vis[v] == 0)  //如果沒有染色
        {
            color[v] = color[u]^1;
            if (!DFS(v))
                return false;
        }
        else if (color[u]==color[v]) //如果已經染色，但是相連的兩點顏色相同
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(graph,0, sizeof(graph));
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            graph[a].push_back(b);
            graph[b].push_back(a);
        }
        memset(color,0, sizeof(color));
        memset(vis,0, sizeof(vis));
        int flag = true;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            if (vis[i] == 0)
            {
                if (!DFS(i))
                {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if (flag)
            printf("Yes\n"); // 是二分圖
        else
            printf("No\n");
    }
}

 

第二種方法：BFS

 

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 100
using namespace std;

vector<int> graph[MAXN];
int color[MAXN];


bool BFS(int u)
{
    queue<int> que;
    que.push(u);
    color[u] = 1;
    while (!que.empty())
    {
        int x = que.front();
        que.pop();
        for (int i=0;i<graph[x].size();i++)
        {
            int y = graph[x][i];
            if (color[y] == 0)
            {
                color[y] = color[x]^1;
                que.push(y);
            }
            else
            {
                if (color[x] == color[y])
                    return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        graph[x].push_back(y);
        graph[y].push_back(x);
    }
    memset(color,0, sizeof(color));
    //cout << BFS(1) << endl;
    if (BFS(1))
        cout << "YES" << endl;
    else
        cout << "NO" << endl;
    return 0;
}