二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G為一個二分圖。
簡而言之，就是頂點集V可分割為兩個互不相交的子集，並且圖中每條邊依附的兩個頂點都分屬於這兩個互不相交的子集。
無向圖G為二分圖的充分必要條件是，G至少有兩個頂點，且其所有回路的長度均為偶數。
給定一個二分圖G，在G的一個子圖M中，M的邊集中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱M是一個匹配。
最大匹配在實際中有廣泛的用處，求最大匹配的一種顯而易見的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配數最多的。即回溯法，但是這個算法的復雜度為邊數的指數級函數。因此，需要尋求一種更加高效的算法。
二分圖的最大匹配有2種實現，網絡流和匈牙利算法。（《算法導論》第26章有講網絡流算法）
求最大匹配的一種顯而易見的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配數最多的.但是這個算法的復雜度為邊數的指數級函數.因此，需要尋求一種更加高效的算法.
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，該算法用到了增廣路的定義(也稱增廣軌或交錯軌)：若邊集合P是圖G中一條連通兩個未匹配頂點的路徑，並且屬M的邊和不屬M的邊(即已匹配和待匹配的邊)在P上交替出現，則稱P為相對於M的一條增廣路徑。(（舉例來說，有A、B集合，增廣路由A中一個點通向B中一個點，再由B中這個點通向A中一個點……交替進行）。
由增廣路徑的定義可以推出下述三個結論：
1. P的路徑長度必定為奇數，第一條邊和最后一條邊都不屬於M。
2. P經過“取反操作”（即非M中的邊變為M中的邊，原來M中的邊去掉）可以得到一個更大的匹配M’。
（我畫的例子：
路徑A-F為路徑P，BC和DE屬於M，可以看到在路徑p上屬於M和邊和不屬於M的邊交替出現。先黑后紅，再黑，在紅。
由於增廣路規定是連同2個未匹配的頂點。所有P的長度一定是奇數。
P經過“取反操作”（即非M中的邊變為M中的邊，原來M中的邊去掉）可以得到一個更大的匹配M’。可以從圖中看出來，
把原來匹配的邊（紅色表示）去掉，把黑色的邊加上，匹配數由2變成了3.增大了。（大概增廣路徑的名字也是這么來的吧！）
3. M為G的最大匹配當且僅當不存在相對於M的增廣路徑。
百度百科增廣路:http://baike.baidu.com/view/3585026.htm
從而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：
(1)置M為空
(2)找出一條增廣路徑P，通過“取反操作”獲得更大的匹配M’代替M
(3)重復(2)操作直到找不出增廣路徑為止
根據該算法，可以選擇深搜或者廣搜實現，下面給出易於實現的深度優先搜索（DFS）實現。
//prototype
int n, m, match[100]; //二分圖的兩個集合分別含有n和m個元素,match[i]存儲集合m中的節點i在集合n中的匹配節點,初值為-1。
bool visited[100], map[100][100]; //map存儲鄰接矩陣。
bool DFS(cosnt int &k)
{
for(int i = 0; i < m; i++)
if( map[k][i] && !visited[i] )
{
visited[i] = true;
if( match[i] == -1 || DFS(match[i]) ) //尋找是否為增廣路徑
{
match[i] = k; //路徑取反操作。
return true;
}
}
return false;
}
int main(void)
{
//...........
int count = 0;
memset(match, -1, sizeof(match));
for(i = 0; i < n; i++)
{ //以二分集中的較小集為n進行匹配較優
memset(visited, 0,sizeof(visited));
if( DFS(i) ) ++count; //count為匹配數
}
//............
return 0;
}
優點：實現簡潔，容易理解，適用於邊比較多的圖，DFS找增廣路快.
相比較而言，廣度優先搜索的優點：適用於稀疏二分圖，邊較少，增廣路較短。（BFS實現略）
另外，二分圖最大匹配可以轉換成最大流問題來解。假設二分圖的兩個頂點集分別為X， Y，那么我們在圖中添加一個源s，和一個匯t。同時，在s與X的每個頂點間加一條有向邊(s, vx)，在Y的每個頂點與t間加一條有向邊(vy, t)。X與Y的每條邊也變為X－>Y的有向邊。圖中每條邊的容量為1。則最大匹配問題就轉換為求轉換后的圖G'的最大流的問題。利用Ford－Fulkerson方法求最大流，時間復雜度為O（VE）， V為頂點數，E為邊數。具體證明參考《算法導論》。但是，經典的求二分圖最大匹配的算法是Edmond於1965年提出的匈牙利算法。
題目：
JOJ 1102 Courses http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=1102 (最基本的二分圖匹配)
JOJ 2393 The problem of a CEO http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=2393（二分圖匹配+字符串處理）
本文來自CSDN博客，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/Fandywang_jlu/archive/2008/03/20/2201351.aspx
熟悉的陌生人分析
原題
大家都知道facebook用戶都是雙向的好友，a是b的好友，那么b一定是a的好友，現在給定一個用戶列表，其中有些用戶是好友，有些不是，請判斷，這些用戶是否可以划分為兩組，並且每組內的用戶，互相都不是好友。如果能，請給出這個划分。
例子1： 用戶：{1, 2, 3} 好友關系：1-2， 2-3 划分：{1,3} {2}
例子2： 用戶{1,2,3,4} 好友關系：1-2， 2-3， 3-4，4-1 划分：{1, 3}{2, 4}
分析
有很多面試題比較直接，看到題目，面試者很自然的就想到用什么方法，這時候，往往面試官要的是bug-free的code；還有一些問題，不那么直接，那就是考察，應試者的分析問題、分解問題的能力。往往是一個相對復雜的問題，分解為我們見過的、相對簡單的問題；還有一類問題，從實際當中來，這就需要有建模的能力，也可以說是把問題抽象出來的能力，然后才是分解成小的問題等。這樣的題目，能夠全面的考察應試者的能力。例如今天的面試題。
今天的面試題來自facebook的實際問題。像在我們國內，有很多同學在做新浪微博的數據挖掘，好友推薦、關系預測、圈子發現、轉發分析、影響力分析等等，這些都是很實際、很有用的問題，每一個問題，都可以作為一個值得深入探討的面試題。
相對而言，今天的面試題目比較簡單。因為建模的部分，已經在題目中給出了。稍想一下，圖分割的問題。facebook的好友關系是雙向的，意味着是無向圖（新浪微博，twitter都是有向圖）。然后，要把圖划分為兩組，這兩組滿足什么條件呢？組內沒有邊，組間有邊。這顯然就是一個二分圖。
那問題很明顯了，就是facebook好友關系構成的圖，是否是一個二分圖？如果是，請找到這個划分。就是二分圖判斷+找到一個划分即可。
根據二分圖的特性，一條邊上的兩個點，肯定是屬於不同的組。如果它們出現在同一個組中，肯定就不是二分圖了。怎么判斷，一條邊上的兩個點，分屬於不同的組呢？我們需要遍歷圖，如果找到一條邊，兩個節點，都在同一組，則不是二分圖；如果圖遍歷完成之后，沒有找到這樣的邊，則是二分圖。我們在遍歷的過程中，我們需要區分，一條邊的兩個節點分屬於不同的組，這里我們用到了染色法。核心思想如下：
從某一個點開始，將這個節點染色為白色，並且開始廣度優先遍歷，找到與其相鄰的節點，如果是二分圖，相鄰節點的顏色都應該不同。如果是黑色，則不變；如果是無色，則染成黑色；如果是白色，也就是同色，程序退出。當圖遍歷完畢時，沒有相鄰節點同色的，則是二分圖，標記為白色和黑色的兩組就是一個划分。
來看兩個例子，第一個圖中的例子2：
| 步驟 | 遍歷節點 | 相鄰節點 | 隊列 |
| 1 | 1：白 | 2：黑，4：黑 | 2，4 |
| 2 | 2：黑 | 1：白，3：白 | 4，3 |
| 3 | 4：黑 | 1：白，3：白 | 3 |
| 4 | 3：白 | 2：黑，4：黑 | 空 |
隊列空，結束遍歷。找到划分{1,3}白{2,4}黑。
再看一個不是二分圖的例子： 用戶{1，2，3，4} 關系：1-2，1-3，1-4，2-3，3-4.
判斷步驟如下：
| 步驟 | 遍歷節點 | 相鄰節點 | 隊列 |
| 1 | 1：白 | 2：黑，3：黑，4：黑 | 2，3，4 |
| 2 | 2：黑 | 1：白，3：白 | 3，4 |
發現3矛盾了，則上面的關系，不夠成二分圖。
【分析完畢】