二分圖匹配之匈牙利算法

二分圖的基本概念：

二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊(i，j)所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G為一個二分圖。

比如：

我們一般把圖的兩部分稱為X部和Y部，一個圖的所有點如果能被兩個獨立的點集，那就認為這個圖是二分圖

二分圖的判斷一般通過染色的方法來進行判段，可以寫成dfs或則bfs的寫法

bool dfs(int v,int c)
{
    color[v]=c;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(edge[v][i]==1)
        {
            if(color[i]==c) return false;
            if(color[i]==0&&!dfs(i,-c)) return false;
        }
    }
    return true;
}
void solve()
{
    int flag=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(color[i]==0)
        {
            if(!dfs(i,1))
            {
                cout<<"no"<<endl;
                flag=1;
                break;
            }
        }
     } 
     if(!flag) cout<<"yes"<<endl;
} 

bfs寫法

bool bfs(int s)
{
    color[s] = 1;
    queue<int> que;
    que.push(s);
    while(!que.empty())
    {
        int from = que.front();
        que.pop();
        for(int i = 1; i <= V; i++)
        {
            // 如果相鄰的點沒有上色就給這個點上色
            if(G[from][i] && color[i] == 0)
            {
                que.push(i);
                color[i] = -color[from];
            }
            // 如果相鄰的顏色相同則返回false
            if(G[from][i] && color[i] == color[from])
                return false;
        }
    }
    // 如果所有的點都被染過色，且相鄰的點顏色都不一樣，返回true
    return true;
}

接下來就是介紹匹配：

一個匹配是一個邊的集合，任何匹配的邊之間沒有公共頂點。

最大匹配：一個圖的所有匹配中，邊數最多的匹配稱為最大匹配。如果所有定點都是匹配頂點,則稱這個匹配為完美匹配。

我們一般通過匈牙利算法來求一個二分圖的最大匹配，其算法的核心是求增廣路徑。

交替路：從一個未匹配點出發，依次經過非匹配邊、匹配邊、非匹配邊...形成的路徑叫交替路。*

增廣路：從一個未匹配點出發，走交替路，如果途徑另一個未匹配點（出發的點不算），則這條交替路稱為增廣路（agumenting path）。

我們每次找到一個增廣路，所得到的匹配的邊數都會增加一條，因此我們可以通過求所有點的增廣路徑來求最大匹配的邊數

匈牙利算法的模板如下：

bool dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        if(!used[i]&&map[x][i]==1)
        {
            used[i]=1;
            if(!link[i]||dfs(link[i]))
            {
              link[i]=x;
              return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void xyl()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(dfs(i)) counts++;
    }
}

PS.練習題：hdu 1045,hdu 2444,hdu 1083

此外還有二分圖的最小頂點覆蓋，最大獨立集，最大團等知識，求的方法和匈牙利算法的差不多可以參考如下博客

https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/6035945.html

剩下的帶權二分圖過幾天在補充