二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。
G=(V, E)是一個無向圖 如果G的頂點集V可分割為兩個互不相交的子集X和Y，並且E中每 條邊連接的兩個頂點一個在X中，另一個在Y中，則稱圖G為二分 圖，記為G=(X,Y,E)。
由定義可知，二分圖的這兩個部分中的任意兩個頂點之間沒有路徑
無向圖 G 為二分圖的充分必要條件是，G 至少有兩個頂點，且其所有回路的長度均為偶數。
Question：給定一個無向聯通圖，如何判定該圖是否為一個二分圖？
染色法：參考博文：http://www.cnblogs.com/1227xq/p/6826783.html
https://www.cnblogs.com/digitalhermit/p/5119908.html
(1) 二分圖的判定 [鄰接表]
對二分圖的結點進行染色。如果處於同一組，則應該染成同色，否則為不同色。在染色過程中，如果發生矛盾，說明此圖不是二分圖。
這種方法就像塗顏色一樣，相鄰（若有邊相連）則染成不同色，反之染成同色，若矛盾，則false，反之true
下面為自作代碼+借鑒代碼
鄰接鏈表
#include<bits/stdc++.h> #define N 100000 using namespace std; struct node{ int to,next; }e[N]; int head[N],tot,n,m; bool vis[N],colar[N]; void add(int u,int v){ e[++tot].to=v;e[tot].next=head[u];head[u]=tot; } bool dfs(int k){ vis[k]=1; for(int i=head[k],v;i,v=e[i].to;i=e[i].next){ if(vis[v]==0){ colar[v]=!colar[k]; }else { if(colar[v]!=colar[k]) return true; } } }//判斷函數退出，默認返回false int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ int u,v; cin>>u>>v;add(u,v);add(v,u); } for(int i=1;i<=n;i++){ if(vis[i]==0){ if(dfs(i)==1){ printf("NO\n"); break; } } }printf("YES\n"); return 0; }
vector（STL神器）
#include<bits/stdc++.h> #define N 100000 using namespace std; vector<int>G[N]; int colar[N]; bool dfs(int u,int c){ colar[u]=c; for(int i=0;i<G[u].size();i++){ if(colar[G[u][i]]==c) return false;//如果相鄰的頂點同色，就剪掉這一枝，返回false if(colar[G[u][i]]==0&&!dfs(G[u][i],-c)) return false;//如果相鄰的頂點還沒有染色就把它染成-c }return true; } void solve(){ for(int i=1;i<=n;i++){ if(vis[i]==0){ if(dfs(i,0)==0){ printf("NO\n"); return; } } }printf("YES\n"); } int main() { cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ int u,v; cin>>u>>v; G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); }solve(); return 0; }
這段代碼更容易理解：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> using namespace std; #define N 1000 #define M 2000 int col[N],cnt,n,m,head[N],to[M],next[M]; void add(int x,int y){ next[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt; } void dfs(int u,int c){ col[u]=c; for(int v,i=head[u];i;i=next[i]){ v=to[i]; if(!col[v]) dfs(v,-c); // 染 -c if(col[v]==col[u]){ // 有沖突 printf("NO"); exit(0); } } } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int x,y,i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); add(y,x); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!col[i]) dfs(i,1); // 默認 染色 1 printf("YES"); return 0; }
並查集（神奇的做法）
我們可以將每個節點抽象出兩個節點 v0,v1.
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> using namespace std; #define N 1000 int fa[N<<1],n,m; int find(int k){return fa[k]==k?k:fa[k]=find(fa[k]);} int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n*2;i++)fa[i]=i; for(int fx,fy,x,y,i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&x,&y); fx=find(x*2-1); fy=find(y*2); fa[fx]=fy;//一個染白則另一個染黑 fx=find(x*2); fy=find(y*2-1); fa[fx]=fy;//一個染黑則另一個染白 } for(int i=1;i<=n;i++) if(find(i*2)==find(i*2-1)){//既染白又染黑 printf("NO"); return 0; } printf("YES"); return 0; }
粘一波概念：
匹配：給定一個二分圖G=(X,Y,E)，若存在E的一個子集M，滿足 M中的任意兩條邊都沒有公共頂點，則M稱為一個G的匹配
匹配邊：在匹配中的邊
未匹配邊：不在匹配中的邊
未匹配點：對於一個匹配，不與任何匹配邊鄰接的點
匹配點：剛好相反
極大匹配：無法再加邊的匹配
最大匹配：在所有極大匹配中，邊數|M|最大的匹配
完全匹配：如果一個匹配中，圖中每個頂點都與一條邊相關聯 ，則稱此匹配為完全匹配
下面給出關於二分圖最大匹配的三個定理：
① 最大匹配數＋最大獨立集數＝n
② 二分圖的最小覆蓋數＝最大匹配數
③ 最小路徑覆蓋＝最大獨立集 最大獨立集是指求一個二分圖中最大的一個點集，該點集內的點互不相連。 最小頂點覆蓋是指在二分圖中，用最少的點，讓所有的邊至少和一個點有關聯。 最小路徑覆蓋是指一個不含圈的有向圖 G 中，G 的一個路徑覆蓋是一個其結點不相交的路徑集合 P，圖中 的每一個結點僅包含於 P 中的某一條路徑。路徑可以從任意結點開始和結束，且長度也為任意值，包括 0。
增廣路
增廣路徑：若 P 是圖 G 中一條連通兩個未匹配頂點的路徑，並且屬於 M 的邊和不屬於 M 的邊（即已匹配 和待匹配的邊）在 P 上交替出現，則稱 P 為相對於 M 的一條增廣路徑。
由增廣路的定義可以推出下述三個結論：
① P 的路徑長度必定為奇數，第一條邊和最后一條邊都不屬於 M。
② P 經過取反操作可以得到一個更大的匹配 M'。
③ M 為 G 的最大匹配當且僅當不存在相對於 M 的增廣路徑。
方法（匈牙利算法）：
求二分圖的最大匹配常用匈牙利算法，它是通過不斷地尋找增廣軌來實現的。很明顯，如果二分圖的兩部 分點分別為 X 和 Y，那么最大匹配的數目應該小於等於 min{X,Y}。因此我們可以枚舉某一部分里的每一個點， 從每個點出發尋找增廣軌，最后，該部分的點找完以后，就找到了最大匹配的數目。當然我們也可以通過記錄來找出這些邊。
匈牙利算法找一條增廣路的復雜度為 O(m)，最多找 n 條增廣路，故時間復雜度為 O(mn)。