文章首先於微信公眾號：幾何思維，關注第一時間獲取更新信息
以下場景太過真實，但都是虛構，為了講清楚理論的過程。如有雷同，純屬我瞎編，還望勿對號入座。
1 婚戀市場，明碼實價
中國如今男女比例嚴重失衡，2021年預計將有9200萬單身貴族。為了幫助解決這個社會性問題，提升整體人民的幸福感，小K打算投身到這份偉大的事業中。
“幾何思維”婚戀所，用最科學的方法，幫你脫單。通過概率論尋找最佳匹配對象，再通過微積分精確計算好感上升曲線，最后用數值分析無限逼近對方的理想型。最可怕的是，還包郵呢親，關注一波了解一下？
上班第一天，老板給了小K一份單身男女好感的數據資料。如下圖，連線表示雙方互有好感，可以嘗試處對象。
突然遇到了一個問題，那怎么才能進行最大的匹配，創造整體人民最大的幸福感呢，當然也可以順便拿最多的中介費啦。
2 不要慫，就是干
很多時候不是你比別人差，而是你執行力不夠，在猶豫中喪失機會。
大家就先行動起來吧。
快看，男1號選手在小K的鼓勵(慫恿)下，率先對女1號發起了進攻。在離失敗只有0.01公分的時候，他竟然奇跡般的完成反殺，沒錯，他成功啦，這種高超的技巧，嫻熟的手法簡直如同教科書一般，值得在座的每個同學深入研究反復琢磨啊。
男2號選手也不甘落后，也對女2號選手發起了進攻，沒錯，又一次成功啦。
男3號選手：我勒個去，我上我也行啊。於是也對自己心動的女1號發起了進攻，毫無意外，他陣亡了。。。
中間彩蛋。
男3號不甘心，原地復活，想再戰一回。在一個地方跌倒，咱們就換一個地方再跌。。。
於是對女2號發起了進攻。
幾經波折。
男3號終於也成為了有牽絆的男人，不論未來有多久，只在乎曾經擁有過。
男4一看：這也沒我啥事兒了啊。
以上的過程其實就是經典的匈牙利算法，求解二分圖的最大匹配問題。
3 匈牙利算法
二分圖
定義：設G=(V,E)是一個無向圖，頂點集V可分割為兩個互不相交的子集X，Y，並且圖中每條邊關聯的兩個頂點都分屬於這兩個互不相交的子集，兩個子集內的頂點不相鄰。
判斷是否為二分圖的充要條件：G至少有兩個頂點,且其所有回路的長度均為偶數。
判斷方法：染色法
- 開始對任意一未染色的頂點染色
- 判斷其相鄰的頂點中，若未染色則將其染上和相鄰頂點不同的顏色；
- 若已經染色且顏色和相鄰頂點的顏色相同則說明不是二分圖，若顏色不同則繼續判斷
可用bfs或者dfs。
匹配
在二分圖G的子圖M中，M的邊集E中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱M是一個匹配。
飽和點
匹配M的邊集所關聯的點為飽和點，否則為非飽和點。如上圖：
- \(M_1\)的飽和點：\(X_1,X_3,X_4,Y_1,Y_2,Y_3\)。
- \(M_2\)的飽和點：\(X_1,X_2,Y_1,Y_3\)。
交錯路
定義：圖G的一條路徑，且路徑中的邊在屬於M和不屬於M中交替出現。
增廣路(非網絡流中的定義)
定義：一條交錯路，且該交錯路的起點和終點都為匹配M的非飽和點。
如上圖，交錯路1是增廣路；交錯路2不是增廣路，因為終點\(X_1\)不是非飽和點。
由增廣路推出以下結論：
- 路徑的邊數為奇數，第一條邊和最后一條邊都不屬於M
- 將路徑中的邊的匹配方式取反操作，會得到更大的匹配M'，匹配數加1
- M為圖G的最大匹配等價於不存在M的增廣路
匈牙利算法核心思想：
- 1.初始匹配M為空
- 2.找出一條增廣路徑p，取反操作得到更大的匹配M'代替M
- 3.重復步驟2，直到找不出增廣路為止
4 代碼實現
變量定義及初始化
const int MAXM = 200, MAXN = 200;
bool map[MAXN][MAXM] = {false}, visit[MAXM];
int n, m, x[MAXM], y[MAXN], ans = 0;
初始化
void init() {
memset(x, 0xff, MAXM * 4);
memset(y, 0xff, MAXN * 4);
memset(map, false, MAXN * MAXM);
int num, temp;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> num;
for (int j = 0; j < num; ++j) {
cin >> temp;
map[i][temp - 1] = true;
}
}
}
遞歸尋找增廣路
bool hungary(int u) {
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (!visit[i] && map[u][i]) {
visit[i] = true;
if (y[i] == -1 || hungary(y[i])) {
x[u] = i;
y[i] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
遍歷所有點
int main() {
init();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (x[i] == -1) {
memset(visit, false, MAXM);
if (hungary(i)) {
ans++;
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
測試數據
輸入
5 5
2 2 5
3 2 3 4
2 1 5
3 1 2 5
1 2
輸出
4
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