FOCClarke變換和Park變換詳解（動圖+推導+仿真+附件代碼）

• 1 前言
• 2 自然坐標系ABC
• 3 $\alpha \beta$ 坐標系
• 3.1 Clarke變換
• 3.2 Clarke反變換
• 4 $dq$ 坐標系
• 4.1 Park變換
• 正轉
• 反轉
• 4.2 Park反變換
• 5 程序實現
• 附件

 

1 前言

永磁同步電機是復雜的非線性系統，為了簡化其數學模型，實現控制上的解耦，需要建立相應的坐標系變換，即Clark變換和Park變換。

2 自然坐標系ABC

三相永磁同步電機的驅動電路如下圖所示；

根據圖示電路可以發現在三相永磁同步電機的驅動電路中，三相逆變輸出的三相電壓為$U^A$，$U^B$，$U^C$將作用於電機，那么在三相平面靜止坐標系ABC中，電壓方程滿足以下公式：

$$\{\begin{array}{l}{U}^A=U^{m}cos{\theta }^e\\ U^B=U^{m}cos({\theta }^e+\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\\ U^C=U^{m}cos({\theta }^e-\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\end{array}$$

${\theta }^e$為電角度
$U^m$為相電壓基波峰值

所以根據上述公式可以發現，三相電壓的大小是隨時間變化的正弦波形，相位依次相差120°，具體如下圖所示；

3 $\alpha \beta$ 坐標系

由靜止三相坐標系$ABC$變換到靜止坐標系$\alpha \beta$的過程稱之為Clarke變換；在$\alpha \beta$靜止坐標系中，$\alpha$軸和$\beta$軸的相位差為90°，且$\alpha \beta$的大小是隨時間變化的正弦波形，具體如下圖所示；

從自然坐標系$ABC$ 變換到靜止坐標系 $\alpha \beta$，滿足以下條件：
$$\left[\begin{array}{c}{f}^{\alpha }\\ f^{\beta }\\ f^0\end{array}\right]=T^{3s/2s}\ast \left[\begin{array}{c}{f}^A\\ f^B\\ f^C\end{array}\right]$$
其中$T^{3S/2S}$為變換矩陣：
$$T^{3S/2S}=N\ast \left[\begin{array}{ccc}1& -\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}& -\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\\ 0& \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}& -\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}}{2}& \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}}{2}& \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

注意：$N$為系數，做等幅值變換和等功率變換$N$系數不同；
等幅值變換 $N=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$
等功率變換 $N=\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}}$
下面均為等幅值變換

3.1 Clarke變換

三相電流$ABC$分別為$i^A$，$i^B$，$i^C$，根據基爾霍夫電流定律滿足以下公式：
$$i^A+i^B+i^C=0$$
靜止坐標系$\alpha \beta$，$\alpha$軸的電流分量為$i^{\alpha }$，$i^{\beta }$，則Clark變換滿足以下公式：

$$i^{\alpha }=i^A{i}^{\beta }=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{\sqrt{3}}\ast i^A+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{\sqrt{3}}\ast i^B$$

在matlab的simulink仿真如下圖所示；

最終得到三相電流$i^A$，$i^B$，$i^C$的仿真結果如下；

得到 $\alpha \beta$ 坐標的 $i^{\alpha }$ 和 $i^{\beta }$ 的仿真結果如下圖所示；

由上述兩張圖分析可以得到，等幅值Clark變換前后峰值不變，$\alpha \beta$坐標系中$i^{\alpha }$和$i^{\beta }$相位相差90°。

3.2 Clarke反變換

暫略

Clarke反變換的simulink仿真如下圖所示；

4 $dq$ 坐標系

$dq$ 坐標系相對與定子來說是旋轉的坐標系，轉速的角速度和轉子旋轉的角速度相同，所以，相當於轉子來說，$dq$ 坐標系就是靜止的坐標系；而$i^d$和$i^q$則是恆定不變的兩個值，具體如下圖所示；

根據物理結構，我們發現；
$d$ 軸方向與轉子磁鏈方向重合，又叫直軸；
$q$ 軸方向與轉子磁鏈方向垂直，又叫交軸；
$d$軸和$q軸$如下圖所示；

4.1 Park變換

Park變換的本質是靜止坐標系$\alpha \beta$乘以一個旋轉矩陣，從而得到$dq$坐標系，其中滿足以下條件：
$$\left[\begin{array}{c}{f}^d\\ f^q\end{array}\right]=T^{2s/2r}\ast \left[\begin{array}{c}{f}^{\alpha }\\ f^{\beta }\end{array}\right]$$
其中$T^{2s/2r}$為旋轉矩陣，所以，park變換和park反變換其根本就是旋轉矩陣不同，$T^{2s/2r}$可以表示為：
$$T^{2s/2r}=\left[\begin{array}{cc}cos{\theta }^e& sin{\theta }^e\\ -sin{\theta }^e& cos{\theta }^e\end{array}\right]$$

$T^{2s/2r}$ 含義為 $2\ast stator$ ==> $2\ast rotor$
2軸定子坐標系轉換到2軸轉子坐標系

由上式可以得到：
$$\{\begin{array}{l}{i}^d=i^{\alpha }\ast cos\theta +i^{\beta }\ast sin\theta \\ i^q=-i^{\alpha }\ast sin\theta +i^{\beta }\ast cos\theta \end{array}$$
其中simulink仿真如下圖所示；

作為輸入的 $i^{\alpha }$ 和 $i^{\beta }$，仿真波形如下圖所示；

最終經過Park變換得到$i^d$和$i^q$如下圖所示；

可以看到，$i^d$和$i^q$是恆定值，所以Park變換也叫做交直變換，由輸入的交流量，最終變換到相對與轉子坐標的直流量。

在實際寫FOC的過程中對於這塊變換產生了一個疑問；這里再區分一下正轉和反轉的情況，以此來說明一下Id和Iq的實際中的作用；
下面先規定一個方向為反轉；

正轉

通常，大部分書籍以及論文中的正轉輸入的三相波形如下：
$$\{\begin{array}{l}{U}^A=U^{m}cos{\theta }^e\\ U^B=U^{m}cos({\theta }^e-\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\\ U^C=U^{m}cos({\theta }^e+\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\end{array}$$

反轉

$$\{\begin{array}{l}{U}^A=U^{m}cos{\theta }^e\\ U^B=U^{m}cos({\theta }^e+\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\\ U^C=U^{m}cos({\theta }^e-\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi }{3})\end{array}$$

4.2 Park反變換

Park反變換又叫直交變換，由$dq$軸的直流量，最終變換到$\alpha \beta$的交流量，其中滿足變換條件如下：
$$\left[\begin{array}{c}{f}^d\\ f^q\end{array}\right]=T^{2r/2s}\ast \left[\begin{array}{c}{f}^{\alpha }\\ f^{\beta }\end{array}\right]$$

其中$T^{2s/2r}$為Park變換的逆矩陣，所以，存在條件：
$$T^{2r/2s}=T^{2r/2s}=\left[\begin{array}{cc}cos{\theta }^e& -sin{\theta }^e\\ sin{\theta }^e& cos{\theta }^e\end{array}\right]$$

最終由上式可以得到：
$$\{\begin{array}{l}{i}^{\alpha }=i^d\ast cos\theta -i^q\ast sin\theta \\ i^{\beta }=i^d\ast sin\theta +i^q\ast cos\theta \end{array}$$

仿真暫略。

5 程序實現

坐標變換的C程序主要基於TI的IQMATH庫進行實現，詳情已經提交到附件。
如何使用這個庫可以參考《STM32 使用IQmath實現SVPWM》

附件

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提取碼：irm2