FOC中的Clarke變換和Park變換詳解（動圖+推導+仿真+附件代碼）

文章目錄

• 1 前言
• 2 自然坐標系ABC
• 3 $\alpha\beta$ 坐標系
• 3.1 Clarke變換
• 3.2 Clarke反變換
• 4 $dq$ 坐標系
• 4.1 Park變換
• 正轉
• 反轉
• 4.2 Park反變換
• 5 程序實現
• 附件

1 前言

永磁同步電機是復雜的非線性系統，為了簡化其數學模型，實現控制上的解耦，需要建立相應的坐標系變換，即Clark變換和Park變換。

2 自然坐標系ABC

三相永磁同步電機的驅動電路如下圖所示；

根據圖示電路可以發現在三相永磁同步電機的驅動電路中，三相逆變輸出的三相電壓為 $U_{A}$， $U_{B}$， $U_{C}$將作用於電機，那么在三相平面靜止坐標系ABC中，電壓方程滿足以下公式：

$\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}$

$\theta_{e}$為電角度
$U_{m}$為相電壓基波峰值

所以根據上述公式可以發現，三相電壓的大小是隨時間變化的正弦波形，相位依次相差120°，具體如下圖所示；

3 $\alpha\beta$ 坐標系

由靜止三相坐標系 $ABC$變換到靜止坐標系 $\alpha\beta$的過程稱之為Clarke變換；在 $\alpha\beta$靜止坐標系中， $\alpha$軸和 $\beta$軸的相位差為90°，且 $\alpha\beta$的大小是隨時間變化的正弦波形，具體如下圖所示；

從自然坐標系 $ABC$ 變換到靜止坐標系 $\alpha\beta$，滿足以下條件：
$\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \\ f_{0} \end{bmatrix} = T_{3s/2s}*\begin{bmatrix} f_{A} \\ f_{B} \\ f_{C} \end{bmatrix}$
其中 $T_{3S/2S}$為變換矩陣：
$T_{3S/2S} = N*\begin{bmatrix} 1 &-\cfrac{1}{2} &-\cfrac{1}{2} \\ \\ 0 &\cfrac{\sqrt{3}}{2} &-\cfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

注意： $N$為系數，做等幅值變換和等功率變換 $N$系數不同；
等幅值變換 $N =\cfrac{2}{3}$
等功率變換 $N =\sqrt\cfrac{2}{3}$
下面均為等幅值變換

3.1 Clarke變換

三相電流 $ABC$分別為 $i_{A}$， $i_{B}$， $i_{C}$，根據基爾霍夫電流定律滿足以下公式：
$i_{A}+i_{B}+i_{C} = 0$
靜止坐標系 $\alpha\beta$， $\alpha$軸的電流分量為 $i_{\alpha}$， $i_{\beta}$，則Clark變換滿足以下公式：

$i_{\alpha} = i_{A} \\ \\ i_{\beta} = \cfrac{1}{\sqrt{3}}*i_{A}+\cfrac{2}{\sqrt{3}}*i_{B}$

在matlab的simulink仿真如下圖所示；

最終得到三相電流 $i_{A}$， $i_{B}$， $i_{C}$的仿真結果如下；

得到 $\alpha\beta$ 坐標的 $i_{\alpha}$ 和 $i_{\beta}$ 的仿真結果如下圖所示；

由上述兩張圖分析可以得到，等幅值Clark變換前后峰值不變， $\alpha\beta$坐標系中 $i_{\alpha}$和 $i_{\beta}$相位相差90°。

3.2 Clarke反變換

暫略

Clarke反變換的simulink仿真如下圖所示；

4 $dq$ 坐標系

$dq$ 坐標系相對與定子來說是旋轉的坐標系，轉速的角速度和轉子旋轉的角速度相同，所以，相當於轉子來說， $dq$ 坐標系就是靜止的坐標系；而 $i_{d}$和 $i_{q}$則是恆定不變的兩個值，具體如下圖所示；

根據物理結構，我們發現；
$d$ 軸方向與轉子磁鏈方向重合，又叫直軸；
$q$ 軸方向與轉子磁鏈方向垂直，又叫交軸；
$d$軸和 $q軸$如下圖所示；

4.1 Park變換

Park變換的本質是靜止坐標系 $\alpha\beta$乘以一個旋轉矩陣，從而得到 $dq$坐標系，其中滿足以下條件：
$\begin{bmatrix} f_{d} \\ f_{q} \end{bmatrix} = T_{2s/2r}*\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \end{bmatrix}$
其中 $T_{2s/2r}$為旋轉矩陣，所以，park變換和park反變換其根本就是旋轉矩陣不同， $T_{2s/2r}$可以表示為：
$T_{2s/2r} = \begin{bmatrix} cos\theta_{e} & sin\theta_{e} \\ -sin\theta_{e} & cos\theta_{e} \end{bmatrix}$

$T_{2s/2r}$ 含義為 $2*stator$ ==> $2*rotor$
2軸定子坐標系轉換到2軸轉子坐標系

由上式可以得到：
$\begin{cases}i_{d}=i_{\alpha}*cos\theta+i_{\beta}*sin\theta \\ i_{q}=-i_{\alpha}*sin\theta+i_{\beta}*cos\theta\end{cases}$
其中simulink仿真如下圖所示；

作為輸入的 $i_{\alpha}$ 和 $i_{\beta}$，仿真波形如下圖所示；

最終經過Park變換得到 $i_{d}$和 $i_{q}$如下圖所示；

可以看到， $i_{d}$和 $i_{q}$是恆定值，所以Park變換也叫做交直變換，由輸入的交流量，最終變換到相對與轉子坐標的直流量。

在實際寫FOC的過程中對於這塊變換產生了一個疑問；這里再區分一下正轉和反轉的情況，以此來說明一下Id和Iq的實際中的作用；
下面先規定一個方向為反轉；

正轉

通常，大部分書籍以及論文中的正轉輸入的三相波形如下：
$\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}$

反轉

$\begin{cases}U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}$

4.2 Park反變換

Park反變換又叫直交變換，由 $dq$軸的直流量，最終變換到 $\alpha\beta$的交流量，其中滿足變換條件如下：
$\begin{bmatrix} f_{d} \\ f_{q} \\ \end{bmatrix} = T_{2r/2s}*\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \\ \end{bmatrix}$

其中 $T_{2s/2r}$為Park變換的逆矩陣，所以，存在條件：
$T_{2r/2s} = T_{2r/2s}^{-1} = \begin{bmatrix} cos\theta_{e} & -sin\theta_{e} \\ sin\theta_{e} & cos\theta_{e} \\ \end{bmatrix}$

最終由上式可以得到：
$\begin{cases}i_{\alpha}=i_{d}*cos\theta-i_{q}*sin\theta \\ i_{\beta}=i_{d}*sin\theta+i_{q}*cos\theta\end{cases}$

仿真暫略。

5 程序實現

坐標變換的C程序主要基於TI的IQMATH庫進行實現，詳情已經提交到附件。
如何使用這個庫可以參考《STM32 使用IQmath實現SVPWM》

附件

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提取碼：irm2