詳解OpenGL中的各種變換（投影變換，模型變換，視圖變換）（二）——投影變換

　　下面介紹投影變換矩陣。這個相比較上一遍的就比較難了。主要分為透視投影矩陣和正交投影矩陣，本文主要介紹透視投影矩陣，正交比較簡單，就給出矩陣形式。

　　（1）透視投影變換矩陣

　　我們先來說一下透視投影需要哪些參數。如圖1所示，深色部分表示最終顯示的區域。照相機的z軸是穿過視錐體正中心的，顯示區域離相機最近的平面我們稱為Z_near，最遠的平面我們稱為Z_far。其中Z_near就是最終的投影窗口。所以我們要把Z_near的寬映射到坐標[-1,1]，把Z_near的高映射到坐標[-1,1]，把Z_near到Z_far的深度距離映射到坐標[-1,1]。因為最后的OpenGL繪制的區域其實就是一個從(-1,-1,-1)到(1,1,1)的一個立方體。而且這樣映射還有個好處，就是繪制的時候靠近Z_near的對象要比靠近Z_far的對象大。

圖1

　　根據這些參數我們可以得到投影變換矩陣。首先，對於這個矩陣，我們先來看x軸和y軸。我們結合上圖，根據相似三角形可以得到：

圖2

　　我們化簡一下可以得到Y_proj=Z_near*x/z和X_proj=Z_near*y/z。之后我們將齊次坐標的w分量設為z，就可以得到Y_proj=Z_near*x和X_proj=Z_near*y。再將坐標映射到[-1,1]，除以投影窗口的長寬即可。我們得到部分透視投影矩陣：

圖3

　　我們再來看z軸。其實z軸映射也非常簡單。我們假設f(z)=A*z+B，當齊次坐標的w分量為z時，那么實際上z軸的坐標為A+B/z。我們根據映射關系得到下面兩個式子：

圖4

　　再根據這兩個式子，求出A和B的值(具體求解就忽略了，得到的結果就是下面矩陣第三行的兩個值)。最終得到完整的透視投影變換矩陣：

圖5

　　我們還可以用另一種方式來表達透視投影。這種方式一共有四個變量。

• 透視的角度fovy。如圖6所示，fovy表示的是照相機所看到的范圍。
• 投影窗口的寬高比aspect。如圖6所示，aspect就是Z_near平面的寬高比。
• 顯示區域離相機最近的距離near和離相機最遠的距離far。這兩個量與前面都是一樣的。

圖6

　　這個表達下的透視投影矩陣如下（計算過程跟上面一種基本一致）：

圖7

　　（2）正交投影變換矩陣

 　　正交投影就比較簡單了。如圖8所示，顯示區域就是一立方體。因為沒有近大遠小的特性，齊次坐標的w分量不需要變化，設為1.0就可以了。另外，我們也需要把x軸，y軸，z軸分別映射到坐標[-1,1]。計算過程也和透視投影變化矩陣類似。

圖8

　　下面是正交投影變換矩陣：

圖9