xiao di 2010 綜述Berry phase effects on electronic properties ：https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.82.1959
重要提醒：
很多書和論文直接抄xiaodi綜述中反常速度(3.6）式，但此式中的負號錯誤，應改為正號。希望后人不要再直接抄(3.6)式！
公式推導見:
鏈接：https://pan.baidu.com/s/1lzzNK1qLwnO_s3KBHMPquA
提取碼：489c
簡要總結：
I部分:介紹貝里相位
Ⅱ部分：絕熱輸運和電極化：
我還重復了zak相位的原始論文，這篇論文的最終結論就是：
在具有空間反演對稱的一維晶體中，哈密頓量中加一個微擾\(A(t)\)，對於\(k(t)\)從\(-\frac{\pi}{a}\)到\(\frac{\pi}{a}\)的這樣一個變化，存在一個相位叫貝里相位，且貝里相位只能為0或\(\pi\). 起初，貝里相位的原始論文要求系統又一個時間周期性的哈密頓量：
（即回到原來參數點）。此zak的論文中的哈密頓量不滿足此條件。但，對於\(k(t)\)從\(-\frac{\pi}{a}\)到\(\frac{\pi}{a}\)的這樣一個變化，依然可以證明，可以認為是參數空間有一個循環(但哈密頓量不滿足），故論文中(6)式是"哈密頓量不滿足時間周期性的系統"中的一個"推廣了的貝里相位"！
ⅡA部分：絕熱流
在一維能帶絕緣體的哈密頓量中給一個小的隨時間緩慢變化的微擾，而且此微擾有時間周期性。此時經過計算知，此微擾會導致一個絕熱流：
ⅡB部分：量子化絕熱粒子輸運
利用ⅡA的結果可以得到:粒子輸運：
計算知，(2.7)的\(c_n\)一定是量子化的，此整數稱為第一陳數。且只要哈密頓量在參數空間中的每個參數上都是周期的，陳數的量子化都是存在的。
但因為0也是整數，所以輸運粒子數\(c_n\)可能是0也可能非0. 可以證明，具有非零輸運的條件是：隨着參數的變化，輪胎面內的某處簡並點會存在。(the criterion for cn to be nonzero is that a degeneracy point must occur somewhere inside the torus as one varies q, R1, and R2.)
接着介紹了在存在多體相互作用和無序時，粒子輸運依然是量子化的(即陳數依然是量子化的)，此結論的成立有兩個前提條件：
1）系統存在有限的能隙
2）系統基態是非簡並的
拓撲不變量的含義：一般來說，對哈密頓量的小的微擾會導致物理量的小的改變。但是，Chern數必須是一個整數的事實意味着它只能以不連續的方式改變，並且在微擾很小時根本不會改變。
接着介紹了絕熱泵浦：上面這種絕熱輸運的現象也被稱為絕熱泵浦
絕熱輸運的量子化現象可以作為電荷泵。實驗上在量子點等系統中已經觀察到了電荷泵浦和自旋泵浦的現象。在介觀系統中，很多是開系統，此時散射矩陣是中心量而非波函數是中心量；在這種系統中的絕熱輸運理論和之前的不同，在這種系統中也發展了和貝里相位相關的電荷泵的理論。
ⅡC部分：晶態固體的電極化
長期以來，電極化的微觀物理一直是一個困擾很多科學家的問題。直到90年代電極化的現代理論建立。只有電極化的改變具有物理意義，其可以利用電子波函數的貝瑞相位進行量化。
在Physics of Ferroelectrics: A Modern Perspective (Topics in Applied Physics)這本書中，開創者寫了電極化現代理論的綜述。
電極化可以視為“未量子化的”絕熱粒子輸運
基於(2.28)，用萬尼爾電荷中心的偶極矩定義每個晶胞中的電極化：
（2.30）是將一個能帶絕緣體映射為a periodic array of localized distributions with truly quantized charges. This resembles像 an ideal ionic crystal where the polarization can be understood in the classical picture of localized charges.
以上定義的電極化是一個bulk量。
該領域的最新發展可分為兩類。在計算方面，計算有限電場中的電極化已經得到了解決，這對擴展系統Nunes和范德比爾特的密度泛函理論有很大的影響；努內斯和Gonze，2001；Souza等人，2002。在理論方面，Resta1998提出了一種用於擴展系統的量子力學位置算子。結果表明，這種算子的期望值可以用來表征金屬和絕緣態Resta和Sorella之間的相變，1999；Souza等人，2000，與電子局部化現象Kohn，1964密切相關。
III.電場中的電子動力學
IIIA：反常速度
在一個小的電場作為微擾的作用下，在t時刻，(n,k)電子的速度：
（3.6）的第二項稱為反常速度。
然而，經過我的反復多次計算以及查找文獻，發現這里(3.6)是錯誤，正確公式為：
where \(\boldsymbol{\Omega}_{n}(\boldsymbol{k})\) is the Berry curvature of the \(n\)th band:
中間應該是加號！
在niu qian原始論文：Phys. Rev. B 59, 14915 (1999)Wave-packet dynamics in slowly perturbed crystals: Gradient corrections and
Berry-phase effects (aps.org)中、晶體中電子同時處在電場和磁場作用下運動的反常速度 (wanfangdata.com.cn)中的結果都和(3.6.1)一致。
所以可以確定，是xiaodi綜述(3.6)錯誤，而付亮2015年非線性霍爾的論文[I. Sodemann and L. Fu. Quantum nonlinear Hall effect induced by
Berry curvature dipole in time-reversal invariant materials. Phys. Rev. Lett.
115, 216806 (2015)]由於直接參考的xiaodi綜述，所以其中的(2)也是錯誤的(注意其中(3)式定義的貝里曲率與我們的差個負號)，沈順清的拓撲絕緣體書中(4.48)中的減號也是錯誤的。
從(3.5)和(3.6.1)知，貝利曲率是參數空間磁場。
IIIB：貝里曲率：對稱性考慮
傳統的公式(3.1)[不含反常速度項]在過去在描述各種電子特性方面取得了很大的成功。因此，重要的是要知道在什么條件下貝里曲率項是不可忽視的。
若系統有時間反演對稱性，則：
若系統有空間反演對稱性，則：
若系統同時有時間和空間反演對稱性，則系統的貝里曲率恆為零。
在鐵磁或反鐵磁序的存在下，晶體會打破時間反轉對稱性。
IIIC、D、E：量子霍爾效應、量子反常霍爾效應、谷霍爾效應
略.其中（3.10）的證明可以見沈順清書4.3節和其附錄A、bernevig拓撲絕緣體書第三章、https://www.zhihu.com/question/381097729/answer/1164745113
沈順清書4.3節:
省略三頁，
總結：
此4.3節就是考慮二維能帶絕緣體，零溫,不考慮電子相互作用和無序，加一個小的微擾電場\(\mathbf{E}=(E_x,E_y)\)，電子速度公式中就會出現一個反常速度項，若體系具有時間反演對稱性，則算出來的霍爾電導為0。
[注意這並不是加磁場。加磁場會破壞時間反演對稱性]
沈書這里沒說清楚。若體系具有時間反演對稱性，可以根據以下(4.50)-(4.54)證明過程中利用時間反演對稱性證明了
從而速度公式中第一項對電流的貢獻為0。但因為體系具有時間反演對稱性，根據xiaodi綜述(3.8）知，
，故根據沈書(4.52)知，霍爾電導為0. 就沒有(4.54)這個公式了。
這就是付亮2015非線性霍爾論文中第一句話說的"The Hall conductivity of an electron
system whose Hamiltonian is invariant under time-reversal symmetry is forced to vanish"(但此句話更嚴格的證明是用昂薩格倒易關系來證明；上面的證明不太好，因為上面證明中用了假設f(k)=1，而黃昆書297頁是分布函數按電場冪級數展開來算）.
若體系沒有時間反演對稱性，而是且存在空間反演對稱性，則也有(原因見李正中書14頁和為知"時間反演對稱性")，從而速度公式中第一項對電流的貢獻也為0。但時間反演對稱性的破壞是加磁場等嗎？會導致（4.52）等公式會發生變化嗎？磁場影響能帶等？？？應該學xiaodi綜述后面部分才知道。以后再說
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