投資組合的方差公式推導

• 背景
• 投資組合的期望收益率
• 投資組合的期望收益方差
• 隨機變量的線性組合的方差公式推導
• \\(n\\) 項完全平方公式的推導
• 言歸正傳，繼續推導隨機變量的線性組合的方差公式
• 總結

背景

今天在看財務管理學課本，風險與收益章節的投資組合的風險計算這一節時， 發現課本所給的投資組合的總體期望收益方差的公式中有 \\(i \neq j\\) 的標注，但是看后面的具體計算步驟時， 卻使用了 \\(i = j\\) 的情況下的計算方式，故而感到疑惑，搜索百度，未見公式上有 \\(i \neq j\\) 的標志。 因此打算自己推導一下。

投資組合的期望收益率

\\(n\\) 為投資項目數量，\\({w}_{i}\\) 為第\\(i\\) 項投資在投資組合中所占的比重， \\({R}_{i}\\) 為第 \\(i\\) 項投資的期望收益率

\[{R}_{P} = \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i} {R}_{i}}\]

投資組合的期望收益方差

投資組合的方差實際上就是投資組合的期望收益率的方差，它是 \\(n\\) 個隨機變量的線性組合的方差

\[{\sigma}_{P}^{2} = \sigma^2 \left( {R}_{P} \right)\]

翻開塵封了一整年的概率論課本，找到公式

\[D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

課本上只給出了兩個隨機變量的線性組合的方差公式，並不知道推廣到 \\(n\\) 項隨機變量的線性組合的方差應該是怎樣。

隨機變量的線性組合的方差公式推導

由課本給出的以下公式

\[D(X) = E[(X-E(X))^2]\] \[D(aX) = a^2D(X)\] \[Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)\] \[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\] \[D(X + Y) = E[(X+Y) - E(X+Y)]^2 = E[(X-E(X)) + (Y-E(Y))]^2 = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)\]

得到

\[D(aX + bY) = E[(aX+bY) - E(aX+bY)]^2 = E[(aX-aE(X)) + (bY-bE(Y))]^2 = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X, Y)\] \[D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2\]

很顯然，根據 \[D(X)=Cov(X,X)\] ，這個結構屬於是一個 \\(n\\) 項的完全平方式，但是我從小就只學過兩項的完全平方公式。。。

\\(n\\) 項完全平方公式的推導

私以為對於 \\(({a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n})^2\\) 的計算，可以看作一個行向量和一個列向量的積， 然后對結果的矩陣的所有元素求和便可得出結果

\[ sum \begin{pmatrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \cdots \\ {a}_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {a}_{1} & {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} \end{pmatrix} = sum \begin{pmatrix} {a}_{1} * {a}_{1} & {a}_{1} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{1} * {a}_{n} \\ {a}_{2} * {a}_{1} & {a}_{2} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{2} * {a}_{n} \\ \cdots \\ {a}_{n} * {a}_{1} & {a}_{n} * {a}_{2} & \cdots & {a}_{n} * {a}_{n} \end{pmatrix} = \sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{n}{ {a}_{i} {a}_{j} }}\]

言歸正傳，繼續推導隨機變量的線性組合的方差公式

上面已經把 \\(n\\) 項投資組合的方差公式推導到了下面的形式

\[ D\left( \sum _{i=1}^{n}{{w}_{i}{R}_{i}} \right) = E \left\{ \sum _{i=1}^{n}{\left[{w}_{i}{R}_{i} - {w}_{i}E({R}_{i})\right]} \right\}^2 \]

通過剛剛推導出來的 \\(n\\) 項完全平方公式和 \\(D(X)=Cov(X,X)\\) 將該式展開成下面的形式，便是我們推導過程中的最終式

\[ D\left( {R}_{P} \right) = \sum _{i=1}^{n}{ \sum _{j=1}^{n}{ {w}_{i} {w}_{j} Cov({R}_{i}, {R}_{j}) } } \]

總結

這最終推導出來的公式與課本上的公式是一樣的，但是並不具有 \\(i \neq j\\) 的附加條件，因為在計算過程中，當 \\(i\\) 和\\(j\\) 相等的時候， 得出的項是某項投資的方差與權重的積 \\({w}_{i}^2\sigma_{i}^{2}\\) ，這是符合隨機變量的線性組合的方差公式的。 所以，課本上公式的附加條件\\(i \neq j\\) 是課本的錯誤，不僅通過我個人的推導證明了，而且后面的例題等， 也都標明這一條件不成立。