最全區間問題匯總（區間合並，區間選點，區間分組，區間覆蓋）

區間問題匯總

區間合並

Description

給定 $n$ 個區間 $[l_i,r_i][l_i,r_i]$，要求合並所有有交集的區間。

注意如果在端點處相交，也算有交集。

輸出合並完成后的區間個數。

例如：$[1,3][1,3] $和$ [2,6][2,6] $可以合並為一個區間$ [1,6][1,6]$。

Input

第一行包含整數 $n$。

接下來 $n$ 行，每行包含兩個整數 $l$ 和 $r$。

5
1 2
2 4
5 6
7 8
7 9

Output

共一行，包含一個整數，表示合並區間完成后的區間個數。

3

思路

1. 使用pair<int, int>類型的vector存儲所有集合的左右端點
2. 將所有集合按左端點排序
3. 創建vector用於存儲合並后的集合
4. 若當前集合的左端點大於當前合並集合的右端點，則二者不能合並。
   • 若不是第一個區間：將上一個合並后的區間放入vector，並更新$l,r$為當前值
   • 若是第一個區間：只更新$l,r$為當前值
5. 若當前集合的左端點小於等於當前合並集合的右端點,則二者可以合並。
   • 取當前集合和當前合並集合的最大值，作為當前合並集合的最大值。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
vector<pii> v;
int n;

void merge(vector<pii> &v){
    vector<pii> opt;
    int st = -1e9, ed = -1e9;
    for(auto item : v){
        if(ed < item.first){
            if(st != -1e9) opt.push_back({st, ed});
            st = item.first, ed = item.second;
        }
        else{
            ed = max(ed, item.second);
        }
    }
    if(st != -1e9) opt.push_back({st, ed});
    v = opt;
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        v.push_back({l, r});
    }
    sort(v.begin(), v.end());

    merge(v);

    cout << v.size();
    
    return 0;
}

區間選點

Description

給定 $N$ 個閉區間 $[a_i,b_i][a_i,b_i]$，請你在數軸上選擇盡量少的點，使得每個區間內至少包含一個選出的點。

輸出選擇的點的最小數量。

位於區間端點上的點也算作區間內。

Input

第一行包含整數 $n$。

接下來 $n$ 行，每行包含兩個整數 $l$ 和 $r$。

3
-1 1
2 4
3 5

Output

2

思路

其實就是找到相互之間沒有任何交集的區間有幾個？

1. 所有區間按右端點從小到大排序
2. 遍歷所有區間：
   • 初始區間為第一個區間
   • 若該區間左端點小於選定區間右端點，ans++ ，更新該區間為選定區間

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 0x3f3f3f3f;

int n, ans;
vector<pii> v;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int l, r; cin >> l >> r;
        v.push_back({r, l});
    }

    sort(v.begin(), v.end());

    int st = -maxn, ed = -maxn;
    for(auto x : v){
        if(x.second > ed){
            ans ++;
            ed = x.first;
        }      
    }

    cout << ans;

    return 0;
}

區間分組

Description

給定 $N$ 個閉區間 $[a_i,b_i][a_i,b_i]$，請你將這些區間分成若干組，使得每組內部的區間兩兩之間（包括端點）沒有交集，並使得組數盡可能小。

輸出最小組數。

Input

第一行包含整數 $n$。

接下來 $n$ 行，每行包含兩個整數 $l$ 和 $r$。

3
-1 1
2 4
3 5

Output

2

思路1

1. 將所有區間按左端點從小到大排序
2. 從前往后枚舉每個區間，判斷能否將其放到某個現有的組中，即是否存在當前區間的的左端點$L$ > 任意組中右端點的最小值的組
   • 如果不存在這樣的組，則開新組，然后再將其放進組中
   • 如果存在這樣的組，則將其放在符合條件的組中，並更新當前組的右端點的值
3. 為了不用每次選擇組時都遍歷所有組，可以通過小根堆來維護所有組中的尾端

為什么不按右端點排序？（@小豆冰果Acwing）

比如，有n個人需要用教室，每個人占用教室的起始時間和終止時間是不一樣的。

1. 如果想知道只有一間教室，能安排下的最多不沖突人數（不是所有的人都有機會，有的會被舍掉）是多少（區間選點和最大不相交問題），那么當然是最先結束的人排在前面，這樣后面的人才有更多機會。如果是按左端點排序，那么如過一個人0點開始用，那么肯定他排在最前面，但是如果他自己就占用了24小時，那么只能給他一個人用了，這樣就達不到最大的效果。所以按右端點排序。
2. 如果想知道這些人都必須安排，沒有人被舍棄，至少需要多少個教室能安排下（區間分組問題）。那么肯定是按照開始時間排序，開始時間越早越優先。這樣每間教室都能得到最充分的利用。

代碼1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 0x3f3f3f3f;

int n, ans;
vector<pii> v, opt;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int l, r; cin >> l >> r;
        v.push_back({l, r});
    }

    sort(v.begin(), v.end());

    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    heap.push(maxn);

    for(auto x : v){
        if(x.first > heap.top()){
            heap.pop();
            heap.push(x.second);
        }
        else{
            ans ++;
            heap.push(x.second);
        }
    }

    cout << ans;

    return 0;
}

思路2

我們可以把所有開始時間和結束時間排序，遇到開始時間就把需要的教室加1，遇到結束時間就把需要的教室減1,在一系列需要的教室個數變化的過程中，峰值就是多同時進行的活動數，也是我們至少需要的教室數。

代碼2

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100100;

int n;
int b[2 * N], idx;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n ; i ++)
    {
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        b[idx ++] = l * 2;//標記左端點為偶數。
        b[idx ++] = r * 2 + 1;// 標記右端點為奇數。
    }

    sort(b, b + idx);

    int res = 1, t = 0;
    for(int i = 0; i < idx ; i ++)
    {
        if(b[i] % 2 == 0) t ++;
        else t --;
        res = max(res, t);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

作者：未來i
鏈接：https://www.acwing.com/solution/content/8902/
來源：AcWing
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。

區間覆蓋

Description

給定 $N$ 個閉區間 $[a_i,b_i][a_i,b_i]$ 以及一個線段區間 $[s,t][s,t]$，請你選擇盡量少的區間，將指定線段區間完全覆蓋。

輸出最少區間數，如果無法完全覆蓋則輸出 $-1$。

Input

第一行包含兩個整數 $s$ 和 $t$，表示給定線段區間的兩個端點。

第二行包含整數 $N$，表示給定區間數。

接下來 $N$ 行，每行包含兩個整數 $a_i,b_i$，表示一個區間的兩個端點。

Output

輸出一個整數，表示所需最少區間數。

如果無解，則輸出 $-1$。

思路

1. 將所有區間按左端點從小到大進行排序
2. 從前往后枚舉每個區間，在所有能覆蓋s的區間中，選擇右端點最大的區間，然后將s更新成右端點的最大值

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> pii;

int n, s, t, ans;
bool success;
vector<pii> v;

int main(){
    cin >> s >> t;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int l, r; cin >> l >> r;
        v.push_back({l, r});
    }

    sort(v.begin(), v.end());
    
	//雙指針思想
    for(int i = 0; i < v.size(); i++){
        int j = i,tmp = s;
        while(v[j].first <= s && j < n){
            tmp = max(tmp, v[j].second);
            j++;
        }
        if(s == tmp || tmp < s){
            ans = -1;
            break;
        }
        ans++;
        if(tmp >= t){
            success = true;
            break;
        }
        s = tmp;
        i = j - 1;
    }

    if(success)cout<<ans;
    else cout <<-1;

    return 0;
}